Raios- X de comprimento de onda 0.25 nm realizam espalhamento Compton com elétrons, que podem ser considerados no estado inicial de repouso, em uma folha metática. Para o feixe observado de raios-X espalhados a um ângulo de 60.0^{\circ} em relação ao feixe incidedente determine:
a) O comprimento de onda dos raios-X espalhados.
b) A energia dos raios-X espalhados.
c) A energia cinética dos elétrons espalhados.
d) A direção de propagação dos elétrons espalhados.

Passo 1

O enunciado dá:
\lambda_{\text{incidente}}=0{,}25\\ \text{nm}
e o ângulo de espalhamento dos raios X (do fóton) é
\theta=60{,}0^\circ.
Pede-se:
a) o comprimento de onda dos raios X espalhados \lambda';
b) a energia dos raios X espalhados E';
c) a energia cinética do elétron espalhado K_e;
d) a direção de propagação do elétron espalhado (ângulo \varphi em relação ao feixe incidente).
Informações físicas úteis que vamos usar (explicarei cada uma no passo seguinte):
\lambda_C=\frac{h}{m_e c}\quad\text{(comprimento de onda de Compton do elétron)},é
\lambda'-\lambda=\lambda_C(1-\cos\theta)\quad\text{(fórmula de Compton)},ó
E=\frac{hc}{\lambda}\quad\text{(energia do fóton em função do comprimento de onda)}.óçã

Passo 2

Explicando a fórmula de Compton e calculando \lambda'.
O efeito Compton descreve a colisão entre um fóton e um elétron inicialmente em repouso. A mudança no comprimento de onda do fóton devido ao espalhamento por um ângulo \theta é dada por
\lambda'-\lambda=\frac{h}{m_e c}\,(1-\cos\theta).
Aqui:
  • \lambda é o comprimento de onda do fóton incidente;
  • \lambda' é o comprimento de onda do fóton espalhado;
  • h é a constante de Planck;
  • m_e é a massa do elétron;
  • c é a velocidade da luz;
  • \theta é o ângulo de espalhamento do fóton.
A constante \dfrac{h}{m_e c} é chamada de comprimento de Compton do elétron. Numericamente:
\lambda_C=\frac{h}{m_e c}=2{,}426\times10^{-12}\\ \text{m}=2{,}426\times10^{-3}\\ \text{nm}=0{,}002426\\ \text{nm}.
Agora calculamos o deslocamento para \theta=60^\circ. Sabemos \cos60^\circ=0{,}5, então
\lambda'-\lambda=\lambda_C(1-\cos60^\circ)=\lambda_C(1-0{,}5)=0{,}5\,\lambda_C.
Substituindo numericamente:
\lambda'-\lambda=0{,}5\times0{,}002426\\ \text{nm}=0{,}001213\\ \text{nm}.
Logo
\lambda'=\lambda+0{,}001213\\ \text{nm}=0{,}25+0{,}001213=0{,}251213\\ \text{nm}.

Passo 3

Explicando como obter a energia do fóton a partir do comprimento de onda e calculando E'.
A energia de um fóton é dada por
E=\frac{hc}{\lambda},
onde hc é uma constante comumente usada em unidades de \mathrm{eV\cdot nm}. Numericamente
hc\approx1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}.
Assim a energia do fóton espalhado é
E'=\frac{1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}}{\lambda'}.
Usando \lambda'=0{,}251213\\ \text{nm}:
E'=\frac{1240}{0{,}251213}\\ \text{eV}\approx4936{,}0\\ \text{eV}=4{,}936\\ \text{keV}.
Para referência, a energia do fóton incidente seria
E=\frac{1240}{0{,}25}\\ \text{eV}=4960\\ \text{eV}=4{,}960\\ \text{keV},
o que mostra que o fóton perdeu uma pequena quantidade de energia no espalhamento.

Passo 4

Calculando a energia cinética do elétron K_e (explicação do raciocínio).
Conservação de energia na colisão fóton+elétron (elétron inicialmente em repouso) dá:
E + m_e c^2 = E' + \left(m_e c^2 + K_e\right),
onde os termos m_e c^2 se cancelam, restando simplesmente
K_e = E - E'.
Usando os valores calculados:
K_e = 4960\\ \text{eV} - 4936{,}0\\ \text{eV}=24{,}0\\ \text{eV}.
Portanto o elétron recebe cerca de 24\\ \text{eV} de energia cinética (valor pequeno em comparação com m_e c^2\approx511\\ \text{keV}, então o recoil é não relativístico).

Passo 5

Determinando a direção de propagação do elétron ( \varphi) — derivação e cálculo.
Queremos o ângulo \varphi do elétron em relação à direção do fóton incidente. Usamos conservação de momento vetorial no plano do espalhamento. Seja:
  • momento do fóton incidente: \vec p = \dfrac{h}{\lambda}\,\hat{\mathbf{x}};
  • momento do fóton espalhado: \vec p' = \dfrac{h}{\lambda'}(\cos\theta\,\hat{\mathbf{x}}+\sin\theta\,\hat{\mathbf{y}});
  • momento do elétron: \vec p_e=\vec p-\vec p'.
A componente x de \vec p_e é
p_{e,x}=\frac{h}{\lambda}-\frac{h}{\lambda'}\cos\theta,
e a componente y é
p_{e,y}=-\frac{h}{\lambda'}\sin\theta
(se escolhermos o sentido positivo de y na direção do fóton espalhado, o elétron terá sinal oposto em y; para o ângulo tomamos o valor absoluto / direção). O ângulo \varphi do vetor \vec p_e em relação ao eixo x (feixe incidente) satisfaz
\tan\varphi=\frac{|\;p_{e,y}\;|}{p_{e,x}}=\frac{\dfrac{h}{\lambda'}\sin\theta}{\dfrac{h}{\lambda}-\dfrac{h}{\lambda'}\cos\theta}.
Cancelando h e reorganizando:
\tan\varphi=\frac{\lambda\sin\theta}{\lambda'-\lambda\cos\theta}.
Agora substituímos numericamente: \lambda=0{,}25\\ \text{nm}, \lambda'=0{,}251213\\ \text{nm}, \sin60^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2}\approx0{,}8660254, \cos60^\circ=0{,}5.
Calculemos o numerador:
\lambda\sin\theta=0{,}25\times0{,}8660254=0{,}21650635\\ \text{nm}.
O denominador:
\lambda'-\lambda\cos\theta=0{,}251213-0{,}25\times0{,}5=0{,}251213-0{,}125=0{,}126213\\ \text{nm}.
Logo
\tan\varphi=\frac{0{,}21650635}{0{,}126213}\approx1{,}716.
Tomando arco-tangente:
\varphi=\arctan(1{,}716)\approx59{,}4^\circ.
Interpretação física curta: o elétron sai no mesmo plano do espalhamento (plano formado pelo feixe incidente e a direção do fóton espalhado) e faz um ângulo \varphi\approx59{,}4^\circ em relação ao feixe incidente, do mesmo lado em que o fóton foi espalhado (praticamente na mesma direção angular do fóton, ligeiramente diferente).

Resposta

(a) \lambda'=0{,}251213\\ \text{nm}
(b) E'=4{,}936\\ \text{keV}
(c) K_e=24{,}0\\ \text{eV}
(d) \varphi=59{,}4^\circ

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