Raios- X de comprimento de onda 0.25 nm realizam espalhamento Compton com elétrons, que podem ser considerados no estado inicial de repouso, em uma folha metática. Para o feixe observado de raios-X espalhados a um ângulo de
em relação ao feixe incidedente determine:
a) O comprimento de onda dos raios-X espalhados.
b) A energia dos raios-X espalhados.
c) A energia cinética dos elétrons espalhados.
d) A direção de propagação dos elétrons espalhados.
a) O comprimento de onda dos raios-X espalhados.
b) A energia dos raios-X espalhados.
c) A energia cinética dos elétrons espalhados.
d) A direção de propagação dos elétrons espalhados.
Passo 1
O enunciado dá:
e o ângulo de espalhamento dos raios X (do fóton) é
Pede-se:
a) o comprimento de onda dos raios X espalhados ;
b) a energia dos raios X espalhados ;
c) a energia cinética do elétron espalhado ;
d) a direção de propagação do elétron espalhado (ângulo em relação ao feixe incidente).
a) o comprimento de onda dos raios X espalhados
b) a energia dos raios X espalhados
c) a energia cinética do elétron espalhado
d) a direção de propagação do elétron espalhado (ângulo
Informações físicas úteis que vamos usar (explicarei cada uma no passo seguinte):
Passo 2
Explicando a fórmula de Compton e calculando
.
O efeito Compton descreve a colisão entre um fóton e um elétron inicialmente em repouso. A mudança no comprimento de onda do fóton devido ao espalhamento por um ângulo
é dada por
Aqui:
-
é o comprimento de onda do fóton incidente; -
é o comprimento de onda do fóton espalhado; -
é a constante de Planck; -
é a massa do elétron; -
é a velocidade da luz; -
é o ângulo de espalhamento do fóton.
A constante
é chamada de comprimento de Compton do elétron. Numericamente:
Agora calculamos o deslocamento para
. Sabemos
, então
Substituindo numericamente:
Logo
Passo 3
Explicando como obter a energia do fóton a partir do comprimento de onda e calculando
.
A energia de um fóton é dada por
onde
é uma constante comumente usada em unidades de
. Numericamente
Assim a energia do fóton espalhado é
Usando
:
Para referência, a energia do fóton incidente seria
o que mostra que o fóton perdeu uma pequena quantidade de energia no espalhamento.
Passo 4
Calculando a energia cinética do elétron
(explicação do raciocínio).
Conservação de energia na colisão fóton+elétron (elétron inicialmente em repouso) dá:
onde os termos
se cancelam, restando simplesmente
Usando os valores calculados:
Portanto o elétron recebe cerca de
de energia cinética (valor pequeno em comparação com
, então o recoil é não relativístico).
Passo 5
Determinando a direção de propagação do elétron (
) — derivação e cálculo.
Queremos o ângulo
do elétron em relação à direção do fóton incidente. Usamos conservação de momento vetorial no plano do espalhamento. Seja:
- momento do fóton incidente:
; - momento do fóton espalhado:
; - momento do elétron:
.
A componente
de
é
e a componente
é
(se escolhermos o sentido positivo de
na direção do fóton espalhado, o elétron terá sinal oposto em
; para o ângulo tomamos o valor absoluto / direção). O ângulo
do vetor
em relação ao eixo
(feixe incidente) satisfaz
Cancelando
e reorganizando:
Agora substituímos numericamente:
,
,
,
.
Calculemos o numerador:
Calculemos o numerador:
O denominador:
Logo
Tomando arco-tangente:
Interpretação física curta: o elétron sai no mesmo plano do espalhamento (plano formado pelo feixe incidente e a direção do fóton espalhado) e faz um ângulo
em relação ao feixe incidente, do mesmo lado em que o fóton foi espalhado (praticamente na mesma direção angular do fóton, ligeiramente diferente).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)