T. 9 Uma partícula de massa
move-se no plano
ao longo de uma reta paralela ao eixo
, em
, com velocidade
. O módulo do momento angular da partícula, em
, e o torque da força resultante sobre a partícula, em
, ambos em relação à origem, no instante
, são iguais, respectivamente, a:
a) 60 e 30
d) 60 e 100
b) 60 e 60
e) zero e zero
a) 60 e 30
d) 60 e 100
b) 60 e 60
e) zero e zero
Passo 1
O enunciado pede duas coisas, ambas relativas ao instante
:
- o módulo do momento angular da partícula em relação à origem (unidade
); - o torque (momento da força resultante) sobre a partícula em relação à origem (unidade
).
Informações fornecidas:
- massa da partícula:
; - a trajetória é uma reta paralela ao eixo
situada em (ou seja, a posição é ); - a velocidade é
; - o instante de interesse é
.
Passo 2
Vamos obter o momento linear (quantidade de movimento)
. Definição e ideia:
- momento linear:
. Aqui é a massa e é a velocidade (vetores).
Aplicando os dados:
Substituindo
(quando for necessário num passo posterior, mas por enquanto mantemos
simbólico para clareza).
Passo 3
Definição do momento angular em relação à origem e como calculá-lo:
- momento angular (vetor) é
, onde é o produto vetorial. - Para vetores no plano
, com e , o produto vetorial aponta na direção e o componente é . Aqui o módulo .
No nosso caso temos
e
. Observe que
e
. Então
O termo com
é nulo porque
. Portanto só permanece o produto da componente
:
Explicando números:
; o sinal negativo vem do
.
O módulo é
Agora substituímos
e
:
Unidade:
. Observação didática: note como a coordenada
não aparece no resultado porque a velocidade está puramente na direção
, anulando o termo
.
Passo 4
Agora calculamos o torque (momento da força resultante) em relação à origem. Duas rotas equivalentes — explico ambas porque é bom para a prova.
Rota A — usando derivada do momento angular:
- relação fundamental da dinâmica rotacional:
, onde é o torque resultante.
Temos. Derivando em relação a :
O módulo é
. Substituindo
:
Unidade:
.
Rota B — usando força e produto vetorial:
- aceleração
. Como ,
- força resultante
. - torque
.
Novamente, o termo comsome, sobrando
que tem módulo
para
. Resultado idêntico ao da rota A, como deve ser.
Comentário físico e de prova: o torque é constante no tempo (não depende de
) porque a força é constante e a distância
também é constante; já o momento angular cresce linearmente com
porque a quantidade de movimento
cresce com
.
Passo 5
Unindo os resultados numéricos finais:
- módulo do momento angular em
: ; - torque da força resultante em
: .
Comparando com as alternativas do enunciado, corresponde à alternativa (a).
Resposta
a)
e