T. 9 Uma partícula de massa m=2,0 \mathrm{~kg} move-se no plano x y ao longo de uma reta paralela ao eixo y, em x=5,0 \mathrm{~m}, com velocidade \vec{v}=-3,0 t \vec{j} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O módulo do momento angular da partícula, em \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2} / \mathrm{s}, e o torque da força resultante sobre a partícula, em N \cdot m, ambos em relação à origem, no instante t=2,0 \mathrm{~s}, são iguais, respectivamente, a:
a) 60 e 30
d) 60 e 100
b) 60 e 60
e) zero e zero

Passo 1

O enunciado pede duas coisas, ambas relativas ao instante t=2{,}0\\ \mathrm{s}:
  • o módulo do momento angular da partícula em relação à origem (unidade \mathrm{kg\cdot m^{2}/s});
  • o torque (momento da força resultante) sobre a partícula em relação à origem (unidade \mathrm{N\cdot m}).
Informações fornecidas:
  • massa da partícula: m=2{,}0\\ \mathrm{kg};
  • a trajetória é uma reta paralela ao eixo y situada em x=5{,}0\\ \mathrm{m} (ou seja, a posição é \vec{r}(t)=5{,}0\,\vec{i}+y(t)\,\vec{j});
  • a velocidade é \vec{v}(t)=-3{,}0\,t\,\vec{j}\\ \mathrm{m/s};
  • o instante de interesse é t=2{,}0\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Vamos obter o momento linear (quantidade de movimento) \vec{p}. Definição e ideia:
  • momento linear: \vec{p}=m\,\vec{v}. Aqui m é a massa e \vec{v} é a velocidade (vetores).
Aplicando os dados:
\vec{p}(t)=m\,\vec{v}(t)=m\big(-3{,}0\,t\,\vec{j}\big) = -3{,}0\,m\,t\,\vec{j}.
Substituindo m=2{,}0\\ \mathrm{kg} (quando for necessário num passo posterior, mas por enquanto mantemos m simbólico para clareza).

Passo 3

Definição do momento angular em relação à origem e como calculá-lo:
  • momento angular (vetor) é \vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}, onde \times é o produto vetorial.
  • Para vetores no plano xy, com \vec{r}=x\,\vec{i}+y\,\vec{j} e \vec{p}=p_x\,\vec{i}+p_y\,\vec{j}, o produto vetorial aponta na direção \vec{k} e o componente z é \,L_z = x p_y - y p_x. Aqui o módulo |\vec{L}| = |L_z|.
No nosso caso temos \vec{r}(t)=5{,}0\,\vec{i}+y(t)\,\vec{j} e \vec{p}(t)=-3{,}0\,m\,t\,\vec{j}. Observe que p_x=0 e p_y=-3{,}0\,m\,t. Então
\vec{L}(t)=\vec{r}\times\vec{p}=\big(5{,}0\,\vec{i}+y(t)\,\vec{j}\big)\times\big(-3{,}0\,m\,t\,\vec{j}\big).
O termo com y(t)\,\vec{j}\times \vec{j} é nulo porque \vec{j}\times\vec{j}=0. Portanto só permanece o produto da componente x:
\vec{L}(t)=5{,}0\,\vec{i}\times\big(-3{,}0\,m\,t\,\vec{j}\big) = -15{,}0\,m\,t\,\vec{k}.
Explicando números: 5{,}0\times 3{,}0 = 15{,}0; o sinal negativo vem do -3{,}0\,m\,t.
O módulo é
|\vec{L}(t)|=15{,}0\,m\,t.
Agora substituímos m=2{,}0\\ \mathrm{kg} e t=2{,}0\\ \mathrm{s}:
|\vec{L}(2)| = 15{,}0\times 2{,}0 \times 2{,}0 = 15{,}0\times 4{,}0 = 60.
Unidade: \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}. Observação didática: note como a coordenada y(t) não aparece no resultado porque a velocidade está puramente na direção \vec{j}, anulando o termo y\,p_x.

Passo 4

Agora calculamos o torque (momento da força resultante) em relação à origem. Duas rotas equivalentes — explico ambas porque é bom para a prova.
Rota A — usando derivada do momento angular:
  • relação fundamental da dinâmica rotacional: \vec{\tau}=\dfrac{d\vec{L}}{dt}, onde \vec{\tau} é o torque resultante.
    Temos \vec{L}(t)=-15{,}0\,m\,t\,\vec{k}. Derivando em relação a t:
\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt} = -15{,}0\,m\,\vec{k}.
O módulo é |\vec{\tau}|=15{,}0\,m. Substituindo m=2{,}0:
|\vec{\tau}|=15{,}0\times 2{,}0 = 30.
Unidade: \mathrm{N\cdot m}.
Rota B — usando força e produto vetorial:
  • aceleração \vec{a}=\dfrac{d\vec{v}}{dt}. Como \vec{v}=-3{,}0\,t\,\vec{j},
\vec{a} = -3{,}0\,\vec{j}\quad(\text{constante}).
  • força resultante \vec{F}=m\vec{a} = m(-3{,}0\,\vec{j}) = -3{,}0\,m\,\vec{j}.
  • torque \vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F} = \big(5{,}0\,\vec{i}+y\,\vec{j}\big)\times\big(-3{,}0\,m\,\vec{j}\big).
    Novamente, o termo com \vec{j}\times\vec{j} some, sobrando
\vec{\tau}=5{,}0\,\vec{i}\times\big(-3{,}0\,m\,\vec{j}\big) = -15{,}0\,m\,\vec{k},
que tem módulo 15{,}0\,m=30 para m=2{,}0. Resultado idêntico ao da rota A, como deve ser.
Comentário físico e de prova: o torque é constante no tempo (não depende de t) porque a força é constante e a distância x=5 também é constante; já o momento angular cresce linearmente com t porque a quantidade de movimento |\vec{p}| cresce com t.

Passo 5

Unindo os resultados numéricos finais:
  • módulo do momento angular em t=2{,}0\\ \mathrm{s}: |\vec{L}|=60\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s};
  • torque da força resultante em t=2{,}0\\ \mathrm{s}: |\vec{\tau}|=30\\ \mathrm{N\cdot m}.
Comparando com as alternativas do enunciado, corresponde à alternativa (a).

Resposta

a) 60 e 30

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