Considere uma população formada por cinco números: 2,3,6,8 e 11 . Tome todas as possíveis amostras de tamanho n=2, com reposição, e determine a média de cada amostra:
a) Determine a média e a variância populacionais;
b) Determine a média e a variância da distribuição amostral das médias;
c) Considere a média populacional do item (b). Suponha que você deseja estimá-la por meio de uma amostra e que tenha coletado em uma pesquisa a amostra (6,8). O que você entende sobre a diferença entre a média dessa amostra e média populacional? Qual a probabilidade dessa diferença ocorrer?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos uma população com os números 2, 3, 6, 8 e 11. A gente precisa tirar todas as amostras possíveis de tamanho 2, com reposição (ou seja, podemos repetir números), e calcular a média de cada amostra.
Vamos usar conceitos de estatística como média e variância para resolver isso. Precisaremos entender como calcular essas medidas tanto para a população quanto para a distribuição das médias das amostras.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as possíveis amostras de tamanho 2 com reposição. Como temos 5 números na população e estamos fazendo amostras com reposição, o total de amostras possíveis será cc (2,2) & (2,3) (2,6) & (2,8) (2,11) & (3,2) (3,3) & (3,6) (3,8) & (3,11) (6,2) & (6,3) (6,6) & (6,8) (6,11) & (8,2) (8,3) & (8,6) (8,8) & (8,11) (11,2) & (11,3) (11,6) & (11,8) (11,11) .
Vamos listar essas amostras:

Passo 3

Agora, vamos calcular a média de cada uma dessas amostras. A média é simplesmente a soma dos dois números dividida por 2. Por exemplo, para a amostra (2,3):
Média = 2 + 32 = 2,5 é
Fazendo isso para todas as 25 amostras, teremos as seguintes médias:
cc 2 & 2,5 4 & 5 6,5 & 2,5 3 & 4,5 5,5 & 7 4 & 4,5 6 & 7 & 8,5 8,5 & 5 5,5 & 7 8 & 9,5 6,5 & 9,5 8,5

Passo 4

Vamos organizar essas médias para facilitar o cálculo da média e variância populacional.
Médias das amostras:
2, 2.5, 4, 5, 6.5, 2.5, 3, 4.5, 5.5, 7, 4, 4.5, 6, 7, 8.5, 8.5, 5, 5.5, 7, 8, 9.5, 6.5, 9.5, 8.5

Passo 5

Item a) Determinar a média e a variância populacionais
Vamos começar calculando a média populacional ( mu = 2 + 3 + 6 + 8 + 115 = 305 = 6 ) e a variância populacional ( (2 - 6)^2 &= 16 (3 - 6)^2 &= 9 (6 - 6)^2 &= 0 (8 - 6)^2 &= 4 (11 - 6)^2 &= 25 ).
  1. Média Populacional ( sigma^2 = 16 + 9 + 0 + 4 + 255 = 545 = 10,8 ):
  1. Variância Populacional ( ):
Primeiro, calculamos cada desvio ao quadrado:
Agora, somamos esses valores e dividimos pelo número total de elementos:

Passo 6

Item b) Determinar a média e a variância da distribuição amostral das médias
Aqui, vamos analisar as médias das amostras que calculamos no Passo 4.
  1. Média da Distribuição Amostral das Médias ( mubarX = mu = 6 ):
A média das médias das amostras é igual à média populacional.
sigma^2barX = sigma^2n = 10,82 = 5,4
  1. Variância da Distribuição Amostral das Médias ( ):
A variância da distribuição amostral das médias é a variância populacional dividida pelo tamanho da amostra ( ).

Passo 7

Item c) Diferença entre a média da amostra (6,8) e a média populacional, e a probabilidade dessa diferença ocorrer
Primeiro, vamos calcular a média da amostra (6,8):
barx = 6 + 82 = 7
A diferença entre a média da amostra e a média populacional é:
7 - 6 = 1
Agora, vamos calcular a probabilidade dessa diferença ocorrer.

Passo 8

Para encontrar essa probabilidade, precisamos saber quantas amostras têm média igual a 7. Olhando para as médias que calculamos:
2, 2.5, 4, 5, 6.5, 2.5, 3, 4.5, 5.5, 7, 4, 4.5, 6, 7, 8.5, 8.5, 5, 5.5, 7, 8, 9.5, 6.5, 9.5, 8.5
Vamos contar quantas vezes aparece a média 7:
Médias iguais a 7: (7 aparece 3 vezes) é

Passo 9

Sabemos que o total de amostras é 25. Então, a probabilidade ( P = Número de amostras com média 7Total de amostras = 325 = 0,12 ou 12% ) de uma amostra ter média 7 é:
úé

Resposta

a) A média populacional é 6 e a variância populacional é 10,8.
b) A média da distribuição amostral das médias é 6 e a variância dessa distribuição é 5,4.
c) A diferença entre a média da amostra (7) e a média populacional (6) é 1. A probabilidade dessa diferença ocorrer é de 12%.

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