Apenas escreva a integral, com os limites de integração, que dá o volume do sólido especificado.
Entre o parabolóide
, a esfera
e acima do disco
.
Entre o parabolóide
Passo 1
Estamos querendo o volume do sólido que fica entre o parabolóide
, a esfera
e que projeta no disco
no plano
. Vamos usar a ideia de volume como integral do elemento de volume sobre essa região.
Passo 2
Como a região de projeção no plano
é um disco e as superfícies são simétricas em torno do eixo
, faz sentido usar coordenadas cilíndricas
. Lembrando que
,
e o elemento de volume é
.
Em cilindricas, o disco vira
,
. Para cada
, o
vai do parabolóide
até a esfera
. Assim o volume é dado por um triplo integral:
Em cilindricas, o disco
Passo 3
Integrando primeiro em
, obtemos uma integral dupla em
e
da diferença de alturas vezes
. Isso nos leva a: