Apenas escreva a integral, com os limites de integração, que dá o volume do sólido especificado.
Entre o parabolóide z=x^2+y^2, a esfera x^2+y^2+z^2=4 e acima do disco x^2+y^2 <= 1.

Passo 1

Estamos querendo o volume do sólido que fica entre o parabolóide z = x^2 + y^2, a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 e que projeta no disco x^2 + y^2 <= 1 no plano xy. Vamos usar a ideia de volume como integral do elemento de volume sobre essa região.

Passo 2

Como a região de projeção no plano xy é um disco e as superfícies são simétricas em torno do eixo z, faz sentido usar coordenadas cilíndricas (r,theta,z). Lembrando que x = rcostheta, y = rsintheta e o elemento de volume é dV = r,dr,dtheta,dz.
Em cilindricas, o disco x^2+y^2<=1 vira 0 <= r <= 1, 0 <= theta <= 2pi. Para cada (r,theta), o z vai do parabolóide z = r^2 até a esfera z = raiz4 - r^2. Assim o volume é dado por um triplo integral:

Passo 3

Integrando primeiro em z, obtemos uma integral dupla em r e theta da diferença de alturas vezes r. Isso nos leva a:

Resposta

V = integraltheta=0^2pi integralr=0^1 l(raiz4 - r^2 - r^2r),r,dr,dtheta

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