Avalie a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida de uma função racional de variáveis reais. O conteúdo principal é a decomposição em frações parciais, seguida da integração termo a termo usando logaritmos, arctan e substituição simples.
Passo 2
Proponho a decomposição parcial:
Temos a integral
Temos a integral
Como o denominador é
, escrevemos:
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
e igualamos polinômios:
Expandindo e agrupando termos em potências de
, obtemos o sistema:
Passo 4
Resolvendo o sistema encontramos
Logo a integral se escreve como soma de três termos:
Passo 5
Integramos cada parcela:
-
integral1x,dx = ln|x| -
integral-xx^2+1,dx = -tfrac12ln(x^2+1) -
integral-1x^2+1,dx = -arctan x - Para
, façaintegralx(x^2+1)^2,dx , entãou=x^2+1 edu=2x,dx
Passo 6
Somando tudo, a integral geral é a soma dos resultados acima.