Avalie a integral.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida de uma função racional de variáveis reais. O conteúdo principal é a decomposição em frações parciais, seguida da integração termo a termo usando logaritmos, arctan e substituição simples.

Passo 2

Proponho a decomposição parcial:
Temos a integral
integral -x^3+2x^2-x+1x(x^2+1)^2,dx
Como o denominador é x(x^2+1)^2, escrevemos:
-x^3+2x^2-x+1x(x^2+1)^2 = Ax + Bx+Cx^2+1 + Dx+E(x^2+1)^2

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por x(x^2+1)^2 e igualamos polinômios:
-x^3+2x^2-x+1 = A(x^2+1)^2 + (Bx+C)x(x^2+1) + (Dx+E)x
Expandindo e agrupando termos em potências de x, obtemos o sistema:
A + B = 0, C = -1, 2A + B + D = 2, C + E = -1, A = 1

Passo 4

Resolvendo o sistema encontramos
A=1, B=-1, C=-1, D=1, E=0
Logo a integral se escreve como soma de três termos:
integral1x,dx + integral-x-1x^2+1,dx + integralx(x^2+1)^2,dx

Passo 5

Integramos cada parcela:
  1. integral1x,dx = ln|x|
  2. integral-xx^2+1,dx = -tfrac12ln(x^2+1)
  3. integral-1x^2+1,dx = -arctan x
  4. Para integralx(x^2+1)^2,dx, faça u=x^2+1, então du=2x,dx e
integralx(x^2+1)^2,dx = 12integral u^-2,du = -12u = -12(x^2+1)

Passo 6

Somando tudo, a integral geral é a soma dos resultados acima.

Passo 7

Resposta

ln|x| - tfrac12ln(x^2+1) - arctan x - tfrac12(x^2+1) + C

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