Calcule as integrais definidas abaixo:
Calcule .

Passo 1

A questão pede o cálculo do limite
Queremos
limntoinftypinsumk=1^n-1sinl(tfrackpinr)
O conteúdo aqui é soma de Riemann para integrais definidas, e vamos precisar reconhecer que esse somatório aproxima uma integral de sin(pi x) em [0,1].

Passo 2

Definimos a partição uniformemente em [0,1] por xk=tfrackn. Então
sinl(tfrackpinr)=sin(pi xk)
e o incremento de cada subintervalo é De.

Passo 3

O somatório original pode ser reescrito como
pinsumk=1^n-1sinl(tfrackpinr)=pisumk=1^n-1sin(pi xk),De
que é exatamente um somatório de Riemann para a função f(x)=sin(pi x) em [0,1].

Passo 4

No limite ntoinfty, esse somatório converge à integral definida:
piintegral0^1sin(pi x),dx

Passo 5

Agora calculamos a integral:
integral0^1sin(pi x),dx=l[-tfrac1picos(pi x)r]0^1=-tfrac1pi(cospi-cos0)=-tfrac1pi(-1-1)=tfrac2pi

Passo 6

Multiplicando pelo fator pi, o valor do limite fica:
pitimestfrac2pi=2

Resposta

2

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