Sejam a, b in R tais que a+b=8. Considere a função f: R R dada por
f(x)= x^2-b x+1 & se x >= 1, -a x^2 & se x<1
(a) Determine os valores de a e b de forma que f seja contínua em x=1.
(b) Com a e b encontrados no item anterior, f é contínua em R ? Justifique.

Passo 1

Neste exercício vamos achar valores de a e b de modo que a função
f(x)=x^2-b x+1 & x>=1,-a x^2& x<1
com a condição a+b=8 seja contínua em x=1. Para isso precisamos usar o conceito de continuidade em ponto:
limxto1^-f(x)=f(1)=limxto1^+f(x).

Passo 2

Para calcular esses limites, analisamos cada ramo em x=1:
Para x>=1 temos
f(1)=1^2 - bcdot1 +1 = 2 - b
Para x<1 o valor tende a
limxto1^-f(x) = -acdot1^2 = -a
Igualando e usando b=8-a obtemos
-a = 2 - (8 - a)
que dá
-a = a - 6 implies 2a = 6 implies a = 3,
e portanto
b = 8 - a = 5

Passo 3

Agora que achamos a=3 e b=5, examinamos a continuidade em todo R: cada ramo de f é um polinômio (logo contínuo) em ( -infty,1) e (1,infty). Em x=1 já garantimos a continuidade ao igualar os limites laterais. Assim, f é contínua em todo R.

Resposta

Os valores que garantem continuidade em x=1 são a=3 e b=5. Com esses valores, f é contínua em todo R.

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