Calcule o gradiente da função:
z=x^2+y^2 sen(x y)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o gradiente da função z = x^2 + y^2sin(xy). Esse conteúdo envolve derivadas parciais e o conceito de gradiente, que é o vetor formado pelas derivadas parciais de z em relação a x e y.

Passo 2

Para calcular partial zpartial x, derivamos x^2 em relação a x, obtendo 2x. Em seguida, derivamos y^2sin(xy): como y^2 é constante em relação a x, aplicamos a regra da cadeia em sin(u). A derivada de sin(u) é cos(u) vezes u', e aqui u=xy tem u'=y. Logo
partialpartial xl(y^2sin(xy)r)=y^2cos(xy)cdot y=y^3cos(xy)

Passo 3

Somando as duas contribuições, fica
partial zpartial x=2x+y^3cos(xy)

Passo 4

Para calcular partial zpartial y, a derivada de x^2 em relação a y é zero. Em y^2sin(xy) usamos a regra do produto:
  • derivada de y^2 é 2y, multiplicando sin(xy);
  • mais y^2 multiplicado pela derivada de sin(xy) em relação a y, que é cos(xy) vezes x.
    Então
partial zpartial y=2ysin(xy)+y^2cos(xy)cdot x=2ysin(xy)+x y^2cos(xy)

Passo 5

Reunindo as duas derivadas, o vetor gradiente fica:
nabla z=l(2x+y^3cos(xy),;2ysin(xy)+x y^2cos(xy)r)

Resposta

nabla z=l(2x+y^3cos(xy),;2ysin(xy)+x y^2cos(xy)r)

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