Aplica-se uma força horizontal de 10 N sobre um corpo que desloca-se numa trajetória retilínea de acordo com a equação \mathrm{s}=10+3 \mathrm{t}+\mathrm{t}^{2}, no SI. Calcule o trabalho realizado pela força em 5 s .

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o trabalho realizado por uma força horizontal em 5\\ \mathrm{s}. Informações dadas no enunciado que vamos usar:
  • A força aplicada é \(10\\ \mathrm{N}) (constante e horizontal).
  • A posição do corpo ao longo da trajetória retilínea é dada por \(s(t)=10+3t+t^{2}) no SI (ou seja, s em metros e t em segundos).
  • Queremos o trabalho realizado pela força no intervalo de tempo de t=0 até t=5\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Definição prática de trabalho (quando a força é constante e colinear com o deslocamento):
W=\vec{F}\cdot\Delta\vec{s}
Aqui \vec{F} é a força vetorial, \Delta\vec{s} é o vetor deslocamento. O produto escalar pode ser escrito como
W=F\,\Delta s\cos\theta,
onde F é o módulo da força, \Delta s é o módulo do deslocamento e \theta é o ângulo entre força e deslocamento. Explicando as variáveis: F em newtons ( \mathrm{N}), \Delta s em metros ( \mathrm{m}), e o resultado W fica em joules ( \mathrm{J}).

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: a força é horizontal e o movimento é retilíneo ao longo da mesma direção, então o ângulo entre força e deslocamento é \theta=0^\circ e \cos\theta=1. Assim, para força constante e colinear,
W=F\,[s(t_{1})-s(t_{0})],
onde t_{0}=0 e t_{1}=5. Outra forma equivalente, que serve para entender o conceito quando F varia, é
W=\int_{t_{0}}^{t_{1}}\vec{F}\cdot\vec{v}\,dt,
mas aqui como \vec{F} é constante e paralelo a \vec{v}, a integral reduz ao produto acima.

Passo 4

Agora calculamos as posições inicial e final usando a função fornecida (mostrando as contas):
Posição inicial em t=0:
s(0)=10+3\cdot 0+0^{2}=10\\ \mathrm{m}.
Posição em t=5:
s(5)=10+3\cdot 5+5^{2}=10+15+25=50\\ \mathrm{m}.
Deslocamento no intervalo 0 a 5\\ \mathrm{s}:
\Delta s = s(5)-s(0)=50-10=40\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Com \,F=10\\ \mathrm{N}\, e \,\Delta s=40\\ \mathrm{m}\,, aplicamos a fórmula do passo 3:
W=F\Delta s=10\\ \mathrm{N}\times 40\\ \mathrm{m}=400\\ \mathrm{J}.
Interpretação rápida: o trabalho é positivo porque a força e o deslocamento têm a mesma direção, ou seja, a força está fornecendo energia ao corpo.

Resposta

400\\ \mathrm{J}

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