Uma aplicação de \ 15.000,00 é efetuada pelo prazo de 3 meses à taxa de juros simples deéà26 % ao ano. Que outra quantia deve ser aplicada por 2 meses à taxa linear deà18 %$ ao ano para se obter o mesmo rendimento financeiro?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a pergunta abaixo:
  • Quantia aplicada inicialmente: \$\;15.000,00.
  • Prazo dessa aplicação: 3 meses.
  • Taxa dessa aplicação (juros simples, “linear”): 26\% ao ano.
  • Segunda aplicação: prazo 2 meses e taxa 18\% ao ano.
  • Pergunta: que quantia (ou capital) deve ser aplicada na segunda aplicação para que o rendimento (juros recebidos) seja o mesmo que o da primeira aplicação?
Informações relevantes listadas de forma objetiva:
  • P_1 = \$\;15.000,00.
  • t_1 = 3 meses.
  • r_1 = 26\% \text{ ao ano}.
  • t_2 = 2 meses.
  • r_2 = 18\% \text{ ao ano}.
  • Incógnita: P_2 (capital que procuramos).

Passo 2

Conceito e fórmula básica (explicação didática): para juros simples usamos a fórmula
I = P \cdot r \cdot t
onde:
  • I é o montante de juros obtido (em unidades monetárias),
  • P é o capital inicial (quando aplicamos),
  • r é a taxa por unidade de tempo (em forma decimal; por exemplo 26\% vira 0,26),
  • t é o tempo na mesma unidade usada em r (aqui usaremos anos).
Por isso, se queremos que dois investimentos produzam o mesmo rendimento em juros simples, basta igualar as parcelas P\cdot r\cdot t de cada um.

Passo 3

Converter meses em anos (porque as taxas são ao ano). Fazer isso passo a passo:
t_1 = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0,25 \text{ ano}
t_2 = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \approx 0,166\overline{6} \text{ ano}
Também convertemos as porcentagens em decimais:
r_1 = 26\% = 0,26,\qquad r_2 = 18\% = 0,18.

Passo 4

Calcular o rendimento (juros) obtido pela primeira aplicação usando a fórmula dos juros simples. Substituindo:
I_1 = P_1 \cdot r_1 \cdot t_1
I_1 = \$\;15.000,00 \times 0,26 \times 0,25
Calcule passo a passo:
0,26 \times 0,25 = 0,065
\$15.000,00 \times 0,065 = \$975,00
Logo o rendimento da primeira aplicação é \$975,00.

Passo 5

Queremos que a segunda aplicação produza o mesmo rendimento: I_2 = I_1 = \$975,00. Pelo formulário de juros simples,
I_2 = P_2 \cdot r_2 \cdot t_2.
Isolando P_2:
P_2 = \frac{I_2}{r_2 \cdot t_2}.

Passo 6

Calcular r_2\cdot t_2 e depois P_2:
r_2\cdot t_2 = 0,18 \times \frac{1}{6} = 0,18 \times 0,166\overline{6} = 0,03.
Agora
P_2 = \frac{\$975,00}{0,03} = \$32.500,00.

Passo 7

Verificação rápida (checagem): calcular os juros da segunda aplicação com o P_2 encontrado:
I_2 = P_2 \cdot r_2 \cdot t_2 = \$32.500,00 \times 0,18 \times \frac{1}{6}.
0,18 \times \frac{1}{6} = 0,03,\quad \$32.500,00 \times 0,03 = \$975,00,
que coincide com I_1. Logo está correto.

Resposta

\$ 32.500,00

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