Um negociante tem as seguintes obrigações de pagamento com um banco:
  • \ 18.000,00$ vencíveis em 37 dias;
  • \ 42.000,00$ vencíveis em 83 dias;
  • \ 100.000,00$ vencíveis em 114 dias.
Com problemas de caixa nestas datas deseja substituir este fluxo de pagamentos pelo seguinte esquema:
  • $ 20.000,00 em 60 dias;
  • $ 50.000,00 em 100 dias;
  • restante em 150 dias.
Sendo de 3,2 \% ao mês a taxa de juros simples adotada pelo banco nestas operações, pede-se calcular o valor do pagamento remanescente adotando como data focal o momento atual.

Passo 1

O enunciado dá os pagamentos atuais (obrigação a ser substituída) e o esquema de substituição que o negociante quer adotar. Pergunta: qual é o valor do pagamento remanescente (o terceiro pagamento do novo esquema), calculado com data focal no momento atual (presente)?\n
Informações fornecidas:
  • Pagamentos atuais:
    • \$18.000,00 vencíveis em 37 dias;
    • \$42.000,00 vencíveis em 83 dias;
    • \$100.000,00 vencíveis em 114 dias.
  • Novo esquema de pagamentos (substituto):
    • \$20.000,00 em 60 dias;
    • \$50.000,00 em 100 dias;
    • restante (desconhecido) em 150 dias.
  • Taxa de juros simples adotada: 3,2\% ao mês, isto é i=0,032 por mês.
  • Data focal: momento atual (presente). Quero o valor do pagamento restante (futuro) que torne iguais os valores presentes dos dois fluxos.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Juros simples: quando a taxa é i por unidade de tempo e o período até o pagamento é t (na mesma unidade de tempo), o fator de desconto para trazer um valor futuro F ao presente é
\text{PV}=\frac{F}{1+i\,t}.
Aqui \text{PV} é o valor presente (na data focal), F é o valor futuro (o pagamento na data indicada), i é a taxa por mês e t é o tempo em meses entre a data atual e o vencimento.
  • Conversão de dias em meses: como a taxa é mensal e as datas estão em dias, vamos usar a convenção usual em contas financeiras simples: 1 mês =30 dias. Assim o tempo em meses é t=\dfrac{\text{dias}}{30}.
  • Estratégia: calcular o valor presente (na data atual) de cada obrigação antiga somando-os; calcular o valor presente dos dois pagamentos já fixados no novo esquema; a diferença será o valor presente do pagamento remanescente; por fim transformar esse valor presente no valor futuro (pagamento em 150 dias) usando a fórmula inversa:
F = \text{PV}\cdot(1+i\,t).
Aqui, para o pagamento em 150 dias temos t=\dfrac{150}{30}=5 meses, e 1+i\,t = 1+0,032\cdot 5 = 1,16.

Passo 3

Calcular o valor presente das obrigações atuais (cada uma trazida ao presente por juros simples).
  • Para \, \$18.000,00 em 37 dias:
    t=\frac{37}{30},\qquad \text{PV}_1=\frac{18000}{1+0,032\cdot\frac{37}{30}}.
    Simplificando a fração do denominador: 1+0,032\cdot\frac{37}{30}=\frac{1949}{1875}. Portanto
    \text{PV}_1=\frac{18000\cdot 1875}{1949}=\frac{33750000}{1949}\approx 17\,316{,}5726013340.
  • Para \, \$42.000,00 em 83 dias:
    t=\frac{83}{30},\qquad \text{PV}_2=\frac{42000}{1+0,032\cdot\frac{83}{30}}.
    Aqui 1+0,032\cdot\frac{83}{30}=\frac{2041}{1875}. Assim
    \text{PV}_2=\frac{42000\cdot 1875}{2041}=\frac{78750000}{2041}\approx 38\,584{,}027437530\ldots
  • Para \, \$100.000,00 em 114 dias:
    t=\frac{114}{30},\qquad \text{PV}_3=\frac{100000}{1+0,032\cdot\frac{114}{30}}.
    Aqui 1+0,032\cdot\frac{114}{30}=1+0,032\cdot 3,8=1,1216=\frac{11216}{10000}=\frac{701}{625} invertendo dá \frac{625}{701}. Portanto
    \text{PV}_3=100000\cdot\frac{625}{701}=\frac{62500000}{701}\approx 89\,158{,}3452211127.
  • Somando os valores presentes das obrigações antigas:
    \text{PV}_{\text{antigo}}=\text{PV}_1+\text{PV}_2+\text{PV}_3\approx 17\,316{,}5726013340+38\,584{,}027437530+89\,158{,}3452211127
\text{PV}_{\text{antigo}}\approx 145\,058{,}9452599767.
(Comentário: eu mostrei como obter frações exatas e depois calculei as aproximações decimais com precisão suficiente para centavos.)

Passo 4

Calcular o valor presente dos pagamentos do novo esquema já fixados (os dois primeiros).
  • Para \$20.000,00 em 60 dias: t=\frac{60}{30}=2,\qquad \text{PV}_4=\frac{20000}{1+0,032\cdot 2}=\frac{20000}{1,064}=\frac{2500000}{133}\approx 18\,796{,}9924812030.
  • Para \$50.000,00 em 100 dias: t=\frac{100}{30}=\frac{10}{3}\approx 3{,}3333,\qquad \text{PV}_5=\frac{50000}{1+0,032\cdot\frac{100}{30}}=\frac{50000}{1{,}106666\ldots}=\frac{3750000}{83}\approx 45\,180{,}7228915663.
  • Somando os dois: \text{PV}_4+\text{PV}_5\approx 18\,796{,}9924812030+45\,180{,}7228915663\approx 63\,977{,}7153727693.

Passo 5

Encontrar o valor presente necessário para o pagamento remanescente e convertê-lo para o valor futuro em 150 dias.
  • O valor presente que falta (PV do restante) é a diferença entre o valor presente total das obrigações antigas e o valor presente dos dois pagamentos já fixados: \text{PV}_{\text{restante}}=\text{PV}_{\text{antigo}}-(\text{PV}_4+\text{PV}_5).Substituindo as aproximações: \text{PV}_{\text{restante}}\approx 145\,058{,}9452599767-63\,977{,}7153727693\approx 81\,081{,}2298872074.
  • Agora converter esse valor presente para o valor futuro X que vence em 150 dias. Primeiro calcule o fator de juros simples para 150 dias: t=\frac{150}{30}=5\quad\text{meses},\qquad 1+i\,t=1+0,032\cdot 5=1{,}16.Assim X=\text{PV}_{\text{restante}}\cdot(1+i\,t)=\text{PV}_{\text{restante}}\cdot 1{,}16.Substituindo: X\approx 81\,081{,}2298872074\cdot 1{,}16\approx 94\,054{,}2266691606.
  • Arredondando para centavos (duas casas decimais), o pagamento remanescente será aproximadamente \$94.054,23.

Resposta

\$94.054,23

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