Um negociante tem as seguintes obrigações de pagamento com um banco:
-
18.000,00$ vencíveis em 37 dias;
-
42.000,00$ vencíveis em 83 dias;
-
100.000,00$ vencíveis em 114 dias.
Com problemas de caixa nestas datas deseja substituir este fluxo de pagamentos pelo seguinte esquema:
- $ 20.000,00 em 60 dias;
- $ 50.000,00 em 100 dias;
- restante em 150 dias.
Sendo de
ao mês a taxa de juros simples adotada pelo banco nestas operações, pede-se calcular o valor do pagamento remanescente adotando como data focal o momento atual.
Passo 1
O enunciado dá os pagamentos atuais (obrigação a ser substituída) e o esquema de substituição que o negociante quer adotar. Pergunta: qual é o valor do pagamento remanescente (o terceiro pagamento do novo esquema), calculado com data focal no momento atual (presente)?\n
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- Pagamentos atuais:
-
vencíveis em dias; -
vencíveis em dias; -
vencíveis em dias.
-
- Novo esquema de pagamentos (substituto):
-
em dias; -
em dias; - restante (desconhecido) em
dias.
-
- Taxa de juros simples adotada:
ao mês, isto é por mês. - Data focal: momento atual (presente). Quero o valor do pagamento restante (futuro) que torne iguais os valores presentes dos dois fluxos.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática):
- Juros simples: quando a taxa é
por unidade de tempo e o período até o pagamento é (na mesma unidade de tempo), o fator de desconto para trazer um valor futuro ao presente é
Aqui
é o valor presente (na data focal),
é o valor futuro (o pagamento na data indicada),
é a taxa por mês e
é o tempo em meses entre a data atual e o vencimento.
- Conversão de dias em meses: como a taxa é mensal e as datas estão em dias, vamos usar a convenção usual em contas financeiras simples:
mês dias. Assim o tempo em meses é . - Estratégia: calcular o valor presente (na data atual) de cada obrigação antiga somando-os; calcular o valor presente dos dois pagamentos já fixados no novo esquema; a diferença será o valor presente do pagamento remanescente; por fim transformar esse valor presente no valor futuro (pagamento em 150 dias) usando a fórmula inversa:
Aqui, para o pagamento em
dias temos
meses, e
.
Passo 3
Calcular o valor presente das obrigações atuais (cada uma trazida ao presente por juros simples).
-
Para
em dias: Simplificando a fração do denominador:. Portanto -
Para
em dias: Aqui. Assim -
Para
em dias: Aquiinvertendo dá . Portanto -
Somando os valores presentes das obrigações antigas:
(Comentário: eu mostrei como obter frações exatas e depois calculei as aproximações decimais com precisão suficiente para centavos.)
Passo 4
Calcular o valor presente dos pagamentos do novo esquema já fixados (os dois primeiros).
- Para
em dias: - Para
em dias: - Somando os dois:
Passo 5
Encontrar o valor presente necessário para o pagamento remanescente e convertê-lo para o valor futuro em
dias.
- O valor presente que falta (PV do restante) é a diferença entre o valor presente total das obrigações antigas e o valor presente dos dois pagamentos já fixados:
Substituindo as aproximações: - Agora converter esse valor presente para o valor futuro
que vence em dias. Primeiro calcule o fator de juros simples para dias: Assim Substituindo: - Arredondando para centavos (duas casas decimais), o pagamento remanescente será aproximadamente
.