Aplicação no cálculo das transformadas inversas de Fourier, Laplace e Z. Forneça a decomposição em frações parciais das seguintes funções:
F(x)=\frac{x+1}{x^{2}\left(x^{2}+x+1\right)}

Passo 1

O enunciado pede: fornecer a decomposição em frações parciais da função rational. As informações dadas são:
F(x)=\frac{x+1}{x^{2}\left(x^{2}+x+1\right)}.
Informações relevantes que já podemos observar sem resolver nada ainda:
\text{grau do numerador} = 1,\quad \text{grau do denominador} = 4,
o que significa que não precisamos fazer divisão polinomial (numerador de grau menor que denominador). O denominador tem um fator linear repetido x^{2} (raiz x=0 de multiplicidade 2) e um fator quadrático x^{2}+x+1 que é irredutível sobre os reais (discriminante 1-4=-3<0). Essas informações bastam para montar a forma geral da decomposição em frações parciais.

Passo 2

Vamos explicar a forma geral que usamos para decompor em frações parciais (aula rápida e prática).
  • Quando há um fator linear repetido \,x^{2}\, (ou seja, raiz 0 com multiplicidade 2), os termos correspondentes na decomposição são da forma
\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}},
porque devemos incluir todas as potências de x desde 1 até a multiplicidade 2.
  • Quando há um fator quadrático irredutível x^{2}+x+1, o numerador desse termo deve ser um polinômio de grau menor que 2, ou seja, linear: \,Cx+D\,.
    Portanto, a forma geral da decomposição é
\frac{x+1}{x^{2}\left(x^{2}+x+1\right)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{Cx+D}{x^{2}+x+1},
onde A,B,C,D são constantes a determinar.

Passo 3

Agora vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da identidade anterior por x^{2}\left(x^{2}+x+1\right). Isso dá uma identidade polinomial (válida para todo x exceto onde havia poles, mas como identidade polinomial válida para coeficientes):
x+1 = A\,x\,(x^{2}+x+1) + B\,(x^{2}+x+1) + (Cx+D)\,x^{2}.
Explicando: multiplicamos cada termo pelo denominador total; por exemplo \frac{A}{x} vira A\cdot x\cdot(x^{2}+x+1), etc.

Passo 4

Usamos substituições convenientes para achar constantes rápidas. Substituindo x=0 (observe que x=0 não é permitido na função original, mas vale na identidade polinomial após cancelar denominadores), temos na igualdade do passo anterior:
0+1 = A\cdot 0\cdot(0^{2}+0+1) + B\cdot(0^{2}+0+1) + (C\cdot 0 + D)\cdot 0^{2}.
Isso simplifica para
1 = B\cdot 1,
logo
B=1.
Isso já nos dá uma constante.

Passo 5

Agora expandimos o lado direito e coletamos coeficientes de potências de x. Comecemos expandindo cada termo:
A\,x\,(x^{2}+x+1)=A(x^{3}+x^{2}+x)=A x^{3}+A x^{2}+A x,
B\,(x^{2}+x+1)=B x^{2}+B x + B,
(Cx+D)\,x^{2}=C x^{3} + D x^{2}.
Somando tudo (e já substituindo B=1):
\text{lado direito} = (A x^{3}+C x^{3}) + (A x^{2}+1\cdot x^{2}+D x^{2}) + (A x + 1\cdot x) + 1.
Agrupando coeficientes por potências:
\text{coeficiente de }x^{3}: A + C,
\text{coeficiente de }x^{2}: A + 1 + D,
\text{coeficiente de }x^{1}: A + 1,
\text{coeficiente de }x^{0}: 1.
A igualdade polinomial do passo 3 era
x+1 = 0\cdot x^{3} + 0\cdot x^{2} + 1\cdot x + 1,
ou seja, os coeficientes à esquerda são: para x^{3} é 0, para x^{2} é 0, para x^{1} é 1, e para constante é 1.

Passo 6

Agora equacionamos coeficientes correspondentes para obter um sistema linear em A,C,D (já sabemos B=1):
a partir de x^{3}:
A + C = 0.
a partir de x^{2}:
A + 1 + D = 0.
a partir de x^{1}:
A + 1 = 1.
a partir da constante já temos 1=1, que está satisfeita.
Da equação para x^{1} temos
A + 1 = 1 \quad\Rightarrow\quad A=0.
Com A=0, a equação A + C = 0
0 + C = 0 \quad\Rightarrow\quad C=0.
Com A=0 na equação do x^{2} obtemos
0 + 1 + D = 0 \quad\Rightarrow\quad D = -1.
Recapitulando todas as constantes:
A=0,\quad B=1,\quad C=0,\quad D=-1.

Passo 7

Substituímos essas constantes na forma geral da Passo 2:
\frac{x+1}{x^{2}\left(x^{2}+x+1\right)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{Cx+D}{x^{2}+x+1} =\frac{0}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{0\cdot x-1}{x^{2}+x+1}.
Simplificando os termos nulos,
\frac{x+1}{x^{2}\left(x^{2}+x+1\right)}=\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x^{2}+x+1}.
Se quiser conferir rapidamente (faça na prova): juntando em um único denominador volta-se à expressão original. Mas aqui já temos a decomposição limpa e simples.

Resposta

\boxed{\displaystyle \frac{x+1}{x^{2}\left(x^{2}+x+1\right)}=\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x^{2}+x+1}}

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