Aplicação no cálculo das transformadas inversas de Fourier, Laplace e Z. Forneça a decomposição em frações parciais das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: fornecer a decomposição em frações parciais da função rational. As informações dadas são:
Informações relevantes que já podemos observar sem resolver nada ainda:
o que significa que não precisamos fazer divisão polinomial (numerador de grau menor que denominador). O denominador tem um fator linear repetido
(raiz
de multiplicidade 2) e um fator quadrático
que é irredutível sobre os reais (discriminante
). Essas informações bastam para montar a forma geral da decomposição em frações parciais.
Passo 2
Vamos explicar a forma geral que usamos para decompor em frações parciais (aula rápida e prática).
- Quando há um fator linear repetido
(ou seja, raiz com multiplicidade 2), os termos correspondentes na decomposição são da forma
porque devemos incluir todas as potências de
desde
até a multiplicidade
.
- Quando há um fator quadrático irredutível
, o numerador desse termo deve ser um polinômio de grau menor que 2, ou seja, linear: .
Portanto, a forma geral da decomposição é
onde
são constantes a determinar.
Passo 3
Agora vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da identidade anterior por
. Isso dá uma identidade polinomial (válida para todo
exceto onde havia poles, mas como identidade polinomial válida para coeficientes):
Explicando: multiplicamos cada termo pelo denominador total; por exemplo
vira
, etc.
Passo 4
Usamos substituições convenientes para achar constantes rápidas. Substituindo
(observe que
não é permitido na função original, mas vale na identidade polinomial após cancelar denominadores), temos na igualdade do passo anterior:
Isso simplifica para
logo
Isso já nos dá uma constante.
Passo 5
Agora expandimos o lado direito e coletamos coeficientes de potências de
. Comecemos expandindo cada termo:
Somando tudo (e já substituindo
):
Agrupando coeficientes por potências:
A igualdade polinomial do passo 3 era
ou seja, os coeficientes à esquerda são: para
é
, para
é
, para
é
, e para constante é
.
Passo 6
Agora equacionamos coeficientes correspondentes para obter um sistema linear em
(já sabemos
):
a partir de :
a partir de
a partir de
:
a partir de
:
a partir da constante já temos
, que está satisfeita.
Da equação para
temos
Com
, a equação
dá
Com
na equação do
obtemos
Recapitulando todas as constantes:
Passo 7
Substituímos essas constantes na forma geral da Passo 2:
Simplificando os termos nulos,
Se quiser conferir rapidamente (faça na prova): juntando em um único denominador volta-se à expressão original. Mas aqui já temos a decomposição limpa e simples.