As notas em uma prova de Estatística são normalmente distribuídas com média 76 e desvio padrão 11.
Qual a proporção de estudantes que tiraram nota inferior a 85?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • As notas seguem uma distribuição normal com média \mu=76 e desvio padrão \sigma=11.
  • Pergunta: qual a proporção (probabilidade) de estudantes com nota inferior a 85?

Passo 2

Estratégia geral (sem fazer contas ainda): para uma variável aleatória X normalmente distribuída com média \mu e desvio padrão \sigma, converte-se X para a variável normal padrão Z usando a transformação
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
A probabilidade pedida P(X<85) transforma-se em P\!\left(Z<\dfrac{85-\mu}{\sigma}\right). Vou calcular esse valor de Z e então consultar a tabela da normal padrão (ou usar aproximação) para obter a probabilidade associada.

Passo 3

Calcular o escore z correspondente a X=85:
z=\frac{85-\mu}{\sigma}=\frac{85-76}{11}=\frac{9}{11}\approx0,81818\ldots
Logo queremos
P(X<85)=P\!\left(Z<0,81818\ldots\right).

Passo 4

Explicando como encontrar P(Z<z): a função \Phi(z)=P(Z<z) é a função de distribuição da normal padrão. Em provas normalmente usa-se:
  • tabela da normal padrão que dá \Phi(z) para z positivos, ou
  • calculadora/softwares que retornam \Phi(z).
Vou usar a tabela da normal padrão e interpolação linear entre os valores próximos. Da tabela (valores padrão):
\Phi(0,81)=0,7910,\qquad \Phi(0,82)=0,7939.
Nosso z está entre 0,81 e 0,82: 0,81818\ldots está a 0,00818 acima de 0,81, ou seja a fracção 0,00818/0,01\approx0,818 do caminho entre os dois valores tabelados. Interpolando linearmente:
\Phi(0,81818)\approx 0,7910 + 0,818\cdot(0,7939-0,7910).
Calculemos a diferença:
0,7939-0,7910=0,0029.
Então
\Phi(0,81818)\approx 0,7910 + 0,818\cdot0,0029 \approx 0,7910 + 0,002373 \approx 0,793373.
Arredondando para quatro casas decimais obtemos aproximadamente 0,7934. Em porcentagem isso é cerca de 79,34\%.

Passo 5

Interpretação intuitiva e verificação rápida: o resultado significa que cerca de 79,34\% dos estudantes tiraram nota menor que 85. Como checagem rápida, z é positivo e menor que 1, então fazia sentido obter uma probabilidade entre 0,5 e 0,84 (já que \Phi(1)\approx0,8413), e 0,7934 está nessa faixa — portanto é coerente.

Resposta

0,7934 \approx 79,34\%

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