A transformação T: P2 R, dada por T(p(x))=p(2), é linear? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação T que pega um polinômio de grau no máximo 2, ou seja, p(x) in P2 , e retorna um número real, que é o valor do polinômio quando x = 2 , ou seja, T(p(x)) = p(2) . A pergunta é: essa transformação T é linear? Para responder isso, precisamos lembrar o que é uma transformação linear e quais são as propriedades que ela deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma transformação linear. Uma transformação T entre dois espaços vetoriais é linear se, para quaisquer dois vetores u e v e para qualquer escalar c , as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
  1. Adição: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Multiplicação por escalar: T(c cdot u) = c cdot T(u)
Então, para a transformação T(p(x)) = p(2) ser linear, ela precisa satisfazer essas duas propriedades para quaisquer polinômios p(x) e q(x) em P2 e para qualquer escalar c .

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade: a adição.
Se tomarmos dois polinômios p(x) e q(x) , então:
T(p(x) + q(x)) = (p + q)(2) = p(2) + q(2) = T(p(x)) + T(q(x))
Então, a propriedade da adição é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda propriedade: a multiplicação por escalar.
Se tomarmos um polinômio p(x) e um escalar c , então:
T(c cdot p(x)) = (c cdot p)(2) = c cdot p(2) = c cdot T(p(x))
Portanto, a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.

Resposta

Como ambas as propriedades de adição e multiplicação por escalar são satisfeitas, a transformação T(p(x)) = p(2) é linear.

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