A transformação
, dada por
, é linear? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação
que pega um polinômio de grau no máximo 2, ou seja,
, e retorna um número real, que é o valor do polinômio quando
, ou seja,
. A pergunta é: essa transformação
é linear? Para responder isso, precisamos lembrar o que é uma transformação linear e quais são as propriedades que ela deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma transformação linear. Uma transformação
entre dois espaços vetoriais é linear se, para quaisquer dois vetores
e
e para qualquer escalar
, as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Então, para a transformação
ser linear, ela precisa satisfazer essas duas propriedades para quaisquer polinômios
e
em
e para qualquer escalar
.
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade: a adição.
Se tomarmos dois polinômios
e
, então:
Então, a propriedade da adição é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda propriedade: a multiplicação por escalar.
Se tomarmos um polinômio
e um escalar
, então:
Portanto, a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.
Resposta
Como ambas as propriedades de adição e multiplicação por escalar são satisfeitas, a transformação
é linear.