Aplicação 2 - Dinâmica Populacional Considere uma taxa de crescimento populacional r=1,1 (por ano) em um meio que comporta no máximo 2000 indivíduos. Se inicialmente há 20 indivíduos, determine
b) Encontre a população para os anos 1, 10 e 100 anos.

Passo 1

O enunciado descreve um modelo de crescimento logístico de Verhulst com taxa de crescimento anual r=1,1 e capacidade de suporte K=2000 indivíduos, partindo de P(0)=20. A meta é achar a população P(t) nos anos t=1, 10 e 100.

Passo 2

A equação diferencial do modelo logístico é
dPdt = r,Pl(1 - PKr)
Para resolvê-la, usamos separação de variáveis, pois é uma EDO de primeira ordem.

Passo 3

Separamos e integramos:
integral dPPl(1 - PKr) = integral r,dt
Fazendo frações parciais e integrando, obtém-se
ln!l(tfracPK-Pr) = r,t + C

Passo 4

Exponenciando e isolando P, chega-se à forma
P(t) = K1 + A e^-r t,
onde A = e^-C é uma constante a determinar.

Passo 5

Na condição inicial P(0)=20,
20 = 20001 + ALongrightarrow 1 + A = 200020 = 100 Longrightarrow A = 99
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P(t) = 20001 + 99,e^-1,1,t

Passo 6

Substituindo t=1, 10 e 100:
P(1) = 20001 + 99,e^-1,1cdot1 approx 58,8,
P(10) = 20001 + 99,e^-1,1cdot10 approx 1996,7,
P(100) = 20001 + 99,e^-1,1cdot100 approx 2000

Resposta

P(1)approx 58,8 indivíduos
P(10)approx 1996,7 indivíduos
P(100)approx 2000 indivíduos

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