Aplicação 2 - Dinâmica Populacional Considere uma taxa de crescimento populacional
(por ano) em um meio que comporta no máximo 2000 indivíduos. Se inicialmente há 20 indivíduos, determine
b) Encontre a população para os anos 1, 10 e 100 anos.
b) Encontre a população para os anos 1, 10 e 100 anos.
Passo 1
O enunciado descreve um modelo de crescimento logístico de Verhulst com taxa de crescimento anual
e capacidade de suporte
indivíduos, partindo de
. A meta é achar a população
nos anos
,
e
.
Passo 2
A equação diferencial do modelo logístico é
Para resolvê-la, usamos separação de variáveis, pois é uma EDO de primeira ordem.
Passo 3
Separamos e integramos:
Fazendo frações parciais e integrando, obtém-se
Passo 4
Exponenciando e isolando
, chega-se à forma
onde
é uma constante a determinar.
Passo 5
Na condição inicial
,
Logo
Passo 6
Substituindo
,
e
: