Exercício 5-Determine as derivadas parciais indicadas:
G(x, y, z)=2 x y z+e^x^2+y^2+x^2 z^2 ; partial^3 Gpartial x partial y partial z.

Passo 1

O enunciado pede a derivada mista de terceira ordem
partial^3Gpartial x,partial y,partial z
da função
G(x,y,z)=2xyz ;+; e^,x^2+y^2+x^2z^2
O que vamos usar é a definição de derivada parcial, bem como a regra do produto e a regra da cadeia em cada etapa.

Passo 2

Calcular partial Gpartial z.
Derivando termo a termo em relação a z:
– Para 2xyz temos
partialpartial z(2xyz)=2xy
– Para e^,x^2+y^2+x^2z^2 aplicamos a cadeia:
partialpartial ze^,x^2+y^2+x^2z^2 = e^,x^2+y^2+x^2z^2;cdot;partialpartial z(x^2z^2) = e^,x^2+y^2+x^2z^2;cdot;2x^2z
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partial Gpartial z =2xy ;+;2x^2z,e^,x^2+y^2+x^2z^2

Passo 3

Calcular partial^2 Gpartial y,partial z =partialpartial yl(partial Gpartial zr).
Derivando 2xy + 2x^2z,e^dots em relação a y:
partialy(2xy)=2x.
– Em 2x^2z,e^,x^2+y^2+x^2z^2, 2x^2z é constante em y e
partialpartial ye^,x^2+y^2+x^2z^2 = e^,x^2+y^2+x^2z^2;cdot;2y
Portanto
partial^2 Gpartial y,partial z =2x ;+;2x^2zcdotl(e^dotscdot 2yr) =2x ;+;4x^2y,z,e^,x^2+y^2+x^2z^2

Passo 4

Calcular partial^3 Gpartial x,partial y,partial z =partialpartial xl(partial^2 Gpartial y,partial zr).
Derivando 2x + 4x^2y,z,e^dots em relação a x:
partialx(2x)=2.
– Em 4x^2y,z,e^,x^2+y^2+x^2z^2 usamos produto h1=4x^2y,z e h2=e^dots:
h1'=8x,y,z, partial h2partial x =e^,x^2+y^2+x^2z^2cdot(2x+2x z^2) =2x(1+z^2),e^,x^2+y^2+x^2z^2
Assim a derivada desse produto é
8x,y,z,e^dots ;+;4x^2y,zcdotl[2x(1+z^2),e^dotsr] =8x,y,z,e^dots ;+;8x^3y,z,(1+z^2),e^dots
Somando tudo:
partial^3Gpartial x,partial y,partial z =2 ;+;8x,y,z,e^,x^2+y^2+x^2z^2 l[1+x^2(1+z^2)r]

Resposta

boxed partial^3Gpartial x,partial y,partial z =2 +8,x,y,z,l[1+x^2(1+z^2)r], e^,x^2+y^2+x^2z^2

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