Considere o campo vetorial em
d) Qual a integral de caminho
, onde
é qualquer caminho fechado simples que circunde a origem.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde
e
é um caminho fechado simples que circula a origem.
Conteúdo: integrais de linha em campos vetoriais não conservativos em domínios não simplesmente conectos.
Conteúdo: integrais de linha em campos vetoriais não conservativos em domínios não simplesmente conectos.
Passo 2
Verificamos se
é conservativo em
.
Escrevendo com
Escrevendo
temos
Logo
em
, mas o domínio não é simplesmente conectado (há singularidade na origem), então
não admite potencial global.
Passo 3
Como
tem
fora da origem, podemos usar a técnica de “buraco” no domínio. Seja
o círculo de raio
centrado na origem, orientado positivamente (anti-horário). Se
envolve a origem uma vez no sentido positivo, então por aplicação de Green na região anelar entre
e
obtemos
Assim
Passo 4
Parametrizamos
por
Então
e
O produto escalar é
Integramos de
a
:
Passo 5
Como
para qualquer
pequeno, concluímos que, para uma volta positiva em torno da origem,
Resposta
para
fechado simples envolvendo a origem com orientação positiva.