Considere o campo vetorial em R^2
F(x, y)=-y i+x jx^2+y^2
d) Qual a integral de caminho integralC F cdot d r, onde C é qualquer caminho fechado simples que circunde a origem.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
integralCFcdot dr
onde
F(x,y)=-y,i+x,jx^2+y^2
e C é um caminho fechado simples que circula a origem.
Conteúdo: integrais de linha em campos vetoriais não conservativos em domínios não simplesmente conectos.

Passo 2

Verificamos se F é conservativo em R^2setminus(0,0).
Escrevendo F=(P,Q) com
P(x,y)=-yx^2+y^2, Q(x,y)=xx^2+y^2,
temos
partial Qpartial x =(x^2+y^2)-2x^2(x^2+y^2)^2 =y^2-x^2(x^2+y^2)^2,
partial Ppartial y =-(x^2+y^2)-2y^2(x^2+y^2)^2 =-x^2-y^2(x^2+y^2)^2 =y^2-x^2(x^2+y^2)^2
Logo partial Q/partial x=partial P/partial y em R^2setminus0, mas o domínio não é simplesmente conectado (há singularidade na origem), então F não admite potencial global.

Passo 3

Como F tem nablatimesF=0 fora da origem, podemos usar a técnica de “buraco” no domínio. Seja Cr o círculo de raio r>0 centrado na origem, orientado positivamente (anti-horário). Se C envolve a origem uma vez no sentido positivo, então por aplicação de Green na região anelar entre C e Cr obtemos
integralCFcdot dr - integralCrFcdot dr = integral duplaanell(tfracpartial Qpartial x-tfracpartial Ppartial yr),dA = 0
Assim
integralCFcdot dr =integralCrFcdot dr

Passo 4

Parametrizamos Cr por
r(t)=(rcos t,rsin t), tin[0,2pi]
Então
dr=(-rsin t,rcos t),dt
e
F(r(t)) =-rsin t,i+rcos t,jr^2 =l(-sin tr,,cos trr)
O produto escalar é
Fl(r(t)r)cdot dr =l(-sin tr,cos trr)cdot(-rsin t,rcos t),dt =(sin^2t+cos^2t),dt =dt
Integramos de 0 a 2pi:
integralCrFcdot dr =integral0^2pi1,dt =2pi

Passo 5

Como integralCFcdot dr=integralCrFcdot dr para qualquer r pequeno, concluímos que, para uma volta positiva em torno da origem,
integralCFcdot dr =2pi

Resposta

integralCFcdot dr=2pi,
para C fechado simples envolvendo a origem com orientação positiva.

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