Uma aplicação num doente de x miligramas de um remédio A e y miligramas de um medicamento B ocasiona uma resposta R(x, y)=x^{2} y^{3}(c-x-y), c>0. Que quantidade de cada remédio dará a melhor resposta?

Passo 1

O enunciado dá a função de resposta
R(x,y)=x^{2}y^{3}(c-x-y),\quad c>0
para x>0, y>0 e x+y<c, e pergunta qual par (x,y) maximiza R. O conteúdo aqui é otimização de função de duas variáveis sem restrições ativas (além de fronteira), então vamos encontrar pontos críticos via derivadas parciais e depois verificar que corresponde a um máximo interno.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de R em relação a x e impor que ela seja zero. Primeiro escrevemos
R(x,y)=x^{2}y^{3}(c-x-y).
Ao derivar em x, usamos produto e cadeia:
\frac{\partial R}{\partial x} =y^{3}\frac{d}{dx}\bigl[x^{2}(c-x-y)\bigr] =y^{3}\bigl[2x(c-x-y)+x^{2}(-1)\bigr] =y^{3}\bigl(2cx-2x^{2}-2xy -x^{2}\bigr) =y^{3}(2cx-3x^{2}-2xy).
Para um ponto crítico interno, requeremos
y^{3}(2cx-3x^{2}-2xy)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2c x-3x^{2}-2xy=0.

Passo 3

Calcular a derivada parcial de R em relação a y e igualar a zero. Analogamente,
\frac{\partial R}{\partial y} =x^{2}\frac{d}{dy}\bigl[y^{3}(c-x-y)\bigr] =x^{2}\bigl[3y^{2}(c-x-y)+y^{3}(-1)\bigr] =x^{2}\bigl(3cy^{2}-3xy^{2}-3y^{3}-y^{3}\bigr) =x^{2}(3cy^{2}-3xy^{2}-4y^{3}).
Para ponto crítico interno,
x^{2}(3cy^{2}-3xy^{2}-4y^{3})=0 \quad\Longrightarrow\quad 3c y^{2}-3x y^{2}-4y^{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad 3c-3x-4y=0.

Passo 4

Restou o sistema linear em x,y\): \[\begin{cases} 2c-3x-2y=0,\\\\ 3c-3x-4y=0. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(3c-3x-4y)-(2c-3x-2y)=c-2y=0 \quad\Longrightarrow\quad y=\tfrac{c}{2}.
Substituindo em (2c-3x-2y=0]:
2c-3x-2\bigl(\tfrac{c}{2}\bigr)=2c-3x-c=0 \quad\Longrightarrow\quad 3x=c \quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac{c}{3}.

Passo 5

No contorno ( x=0, y=0 ou x+y=c) a resposta R se anula, enquanto em \bigl(\tfrac{c}{3},\tfrac{c}{2}\bigr) temos R>0. Logo esse ponto crítico é o máximo global interno.

Resposta

A melhor resposta ocorre para
x=\frac{c}{3}\text{ mg de A}, \quad y=\frac{c}{2}\text{ mg de B}.

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