Questão 5 (2.0). Identifique a cônica a seguir e determine os seus principais elementos.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
e pede para identificar a cônica e determinar seus principais elementos, como centro, eixos, vértices, focos, excentricidade e assíntotas. O conteúdo é seções cônicas — aqui, trata-se de uma hipérbole — e precisaremos escrever a equação em forma canônica.
Passo 2
Reescrevendo a equação original:
subtraímos
de ambos os lados e trocamos o sinal:
dividindo tudo por
:
Passo 3
Da forma canônica
identificamos
,
e centro em
.
Como o termo positivo é o de , o eixo transverso é o eixo
.
Como o termo positivo é o de
Passo 4
Os vértices ficam em
, logo:
Passo 5
Para os focos calculamos
logo
. Os focos são
Passo 6
A excentricidade é
Passo 7
As assíntotas de
são as retas
são as retas
ou seja
Resposta
A cônica é uma hipérbole centrada em
com eixo transverso no eixo
.
Vértices: .
Focos: .
Excentricidade: .
Assíntotas: .
Vértices:
Focos:
Excentricidade:
Assíntotas: