Questão 5 (2.0). Identifique a cônica a seguir e determine os seus principais elementos.
x^{2}-3 y^{2}+3=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x^{2} - 3y^{2} + 3 = 0
e pede para identificar a cônica e determinar seus principais elementos, como centro, eixos, vértices, focos, excentricidade e assíntotas. O conteúdo é seções cônicas — aqui, trata-se de uma hipérbole — e precisaremos escrever a equação em forma canônica.

Passo 2

Reescrevendo a equação original:
x^{2} - 3y^{2} + 3 = 0
subtraímos 3 de ambos os lados e trocamos o sinal:
x^{2} - 3y^{2} = -3
-\,\bigl(x^{2} - 3y^{2}\bigr) = 3
3y^{2} - x^{2} = 3
dividindo tudo por 3:
\frac{y^{2}}{1} \;-\;\frac{x^{2}}{3} \;=\;1.

Passo 3

Da forma canônica
\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1
identificamos
\displaystyle a^{2}=1, \displaystyle b^{2}=3 e centro em (0,0).
Como o termo positivo é o de y^{2}, o eixo transverso é o eixo OY.

Passo 4

Os vértices ficam em (0,\pm a), logo:
(0,\pm 1).

Passo 5

Para os focos calculamos
c^{2} = a^{2} + b^{2} = 1 + 3 = 4,
logo c=2. Os focos são
(0,\pm 2).

Passo 6

A excentricidade é
e = \frac{c}{a} = \frac{2}{1} = 2.

Passo 7

As assíntotas de
\displaystyle \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}}=1
são as retas
y = \pm \frac{a}{b}\,x
ou seja
y = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\,x.

Resposta

A cônica é uma hipérbole centrada em (0,0) com eixo transverso no eixo OY.
Vértices: (0,\pm1).
Focos: (0,\pm2).
Excentricidade: e=2.
Assíntotas: y=\pm\frac{x}{\sqrt{3}}.

Exercícios relacionados