Questão 1. (1.0) Descreva em cada caso, as condições necessárias para que:
Duas retas sejam concorrentes.

Passo 1

O enunciado pede as condições para que duas retas sejam concorrentes, isto é, tenham um ponto em comum. Vamos tratar dois casos clássicos: primeiro no plano \mathbb{R}^2 usando a forma implícita e depois no espaço \mathbb{R}^3 usando a forma paramétrica.

Passo 2

No plano, considere as retas
\ell_1: a_1 x + b_1 y + c_1 = 0
\ell_2: a_2 x + b_2 y + c_2 = 0.
Essas duas retas têm interseção única se e somente se não forem paralelas, ou seja, se o sistema tiver solução única.

Passo 3

A não-paralelidade fica exatamente expressa por
\det \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\\ a_2 & b_2 \end{pmatrix} = a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0.

Passo 4

No espaço, descrevemos cada reta em forma paramétrica:
\mathbf{r}(t)=\mathbf{p}+t\,\mathbf{u},
\mathbf{r}'(s)=\mathbf{q}+s\,\mathbf{v}.
Para elas se encontrarem, não devem ser paralelas (logo \mathbf{u}\times\mathbf{v}\neq\mathbf{0}) e o vetor \mathbf{q}-\mathbf{p} tem que pertencer ao plano gerado por \mathbf{u} e \mathbf{v}.

Passo 5

A condição de coplanaridade e interseção simultânea fica
(\mathbf{q}-\mathbf{p})\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})=0.

Resposta

Caso no plano: as retas
\ell_1: a_1 x + b_1 y + c_1 = 0 e
\ell_2: a_2 x + b_2 y + c_2 = 0
são concorrentes se, e somente se,
a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0.
Caso no espaço: as retas
\mathbf{r}(t)=\mathbf{p}+t\,\mathbf{u} e
\mathbf{r}'(s)=\mathbf{q}+s\,\mathbf{v}
são concorrentes se, e somente se,
\mathbf{u}\times\mathbf{v}\neq\mathbf{0} \quad\text{e}\quad (\mathbf{q}-\mathbf{p})\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})=0.

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