Ex 4. (Aplicação em Engenharia Ambiental - Dispersão de Poluentes)

Um modelo para a concentração C(x, y) de um poluente em um lago é dado por:
C(x, y)=1001+(x-2)^2+(y-3)^2
onde C está em mg/L e x, y em km.
(a) Determine o ponto onde a concentração é máxima e seu valor.
(b) Esboce curvas de nível para C=20,40,60,80. O que elas representam fisicamente?
(c) Comente como esse modelo pode indicar zonas críticas de contaminação.
(d) Por que conhecer as curvas de nível pode ser relevante para o planejamento ambiental?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Engenharia Ambiental que trata da dispersão de poluentes em um lago. A função dada é C(x, y) = 1001 + (x-2)^2 + (y-3)^2 , onde C é a concentração do poluente em mg/L e x, y estão em quilômetros. Vamos precisar de conhecimentos de cálculo, especialmente de derivadas para encontrar máximos, além de entender o que são curvas de nível e como interpretar modelos ambientais. Vamos resolver as partes (a) a (d) passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Determinar o ponto onde a concentração é máxima e seu valor.
Primeiro, queremos achar onde a concentração C(x, y) é máxima. Olhando para a função, percebemos que o denominador é 1 + (x-2)^2 + (y-3)^2 . Quanto menor esse denominador, maior C(x, y) será, já que C(x, y) é igual a 100 dividido por esse termo.
O denominador atinge seu valor mínimo quando (x-2)^2 + (y-3)^2 é mínimo. Como termos ao quadrado são sempre positivos, o mínimo ocorre quando ambos (x-2)^2 e (y-3)^2 são zero, ou seja, quando x = 2 e y = 3 .
Então, o ponto (2, 3) é onde a concentração é máxima.
Agora, vamos calcular o valor máximo de C nesse ponto:
C(2, 3) = 1001 + (2-2)^2 + (3-3)^2 = 1001 + 0 + 0 = 100 mg/L

Passo 3

Parte (b): Esboçar curvas de nível para C = 20, 40, 60, 80 e explicar o que elas representam fisicamente.
Curvas de nível são linhas onde a concentração C é constante. Para cada valor de C , podemos resolver a equação para x e y :
C = 1001 + (x-2)^2 + (y-3)^2
Resolvendo para (x-2)^2 + (y-3)^2 :
1 + (x-2)^2 + (y-3)^2 = 100C (x-2)^2 + (y-3)^2 = 100C - 1
Isso representa círculos centrados em (2, 3) com raio raiz100C - 1 .
Vamos calcular os raios para cada valor de C :
  • Para C = 80 :
r = raiz10080 - 1 = raiz1.25 - 1 = raiz0.25 = 0.5 km
  • Para C = 60 :
r = raiz10060 - 1 = raiz16 - 1 = raiz06 approx 0.816 km
  • Para C = 40 :
r = raiz10040 - 1 = raiz2.5 - 1 = raiz1.5 approx 1.225 km
  • Para C = 20 :
r = raiz10020 - 1 = raiz5 - 1 = raiz4 = 2 km
Essas curvas mostram onde a concentração do poluente é constante. Fisicamente, representam zonas ao redor da fonte de poluição com níveis específicos de contaminação.

Passo 4

Parte (c): Como esse modelo pode indicar zonas críticas de contaminação.
Zonas críticas de contaminação são áreas onde a concentração do poluente ultrapassa limites considerados seguros para o meio ambiente ou para a saúde humana. Analisando as curvas de nível, podemos identificar regiões próximas ao ponto de máxima concentração (2,3) com valores elevados de C como mais críticas. Por exemplo, áreas dentro do círculo de C = 80 mg/L são altamente contaminadas, enquanto aquelas próximas ao raio de 2 km ( C = 20 mg/L) são menos severas. Esse modelo ajuda a visualizar e delimitar essas zonas para ações de mitigação.

Passo 5

Parte (d): Por que conhecer as curvas de nível pode ser relevante para o planejamento ambiental?
Conhecer as curvas de nível é fundamental para o planejamento ambiental porque permite:
  1. Identificar áreas de maior risco: Facilita a localização das zonas mais contaminadas para ações imediatas.
  2. Alocar recursos eficientemente: Direciona esforços e investimentos para áreas que mais precisam de intervenção.
  3. Monitorar a dispersão: Acompanha como a poluição se espalha ao longo do tempo, permitindo ajustes nas estratégias de controle.
  4. Planejar usos do solo: Ajuda a decidir onde é seguro desenvolver atividades econômicas ou residenciais, garantindo a saúde pública e a preservação ambiental.

Resposta

(a) O ponto onde a concentração é máxima é (2, 3) km, com valor de 100 mg/L.
(b) As curvas de nível para C = 20, 40, 60, 80 mg/L são círculos centrados em (2, 3) km com raios de 2 km, aproximadamente 1.225 km, 0.816 km e 0.5 km, respectivamente. Elas representam áreas ao redor da fonte de poluição com concentrações constantes de poluente.
(c) O modelo identifica zonas críticas de contaminação nas regiões próximas ao ponto (2, 3) onde as concentrações são mais elevadas, permitindo ações direcionadas para mitigar os impactos ambientais.
(d) Conhecer as curvas de nível é relevante para o planejamento ambiental porque auxilia na identificação de áreas de risco, alocação eficiente de recursos, monitoramento da dispersão dos poluentes e planejamento seguro do uso do solo.

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