Ex 3. (plotando Superfície)
Considere a função:
(a) Esboce o gráfico 3D da função.
(b) Determine e classifique o ponto crítico da função.
(c) Esboce as curvas de nível para
e comente.
Considere a função:
(b) Determine e classifique o ponto crítico da função.
(c) Esboce as curvas de nível para
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve uma função de duas variáveis,
. A matéria aqui é sobre gráficos 3D de funções, pontos críticos e curvas de nível. Para resolver isso, vamos precisar saber como plotar superfícies, encontrar derivadas parciais para identificar pontos críticos e entender como desenhar curvas de nível para diferentes valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar o gráfico 3D da função
. Essa função é conhecida como uma superfície hiperbólica, mais especificamente uma sela de Cavalieri. Isso porque, dependendo de como você corta a superfície, ela pode parecer uma parábola para uma direção e uma hipérbole para a outra. No gráfico, você verá algo que se parece com uma sela de cavalo, onde a superfície sobe em uma direção e desce na outra.
Passo 3
Agora, vamos determinar e classificar o ponto crítico da função. Primeiro, encontramos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Para achar os pontos críticos, igualamos essas derivadas a zero:
Então, o único ponto crítico é
. Para classificar esse ponto, analisamos a natureza da superfície. Como a função é do tipo
, sabemos que esse ponto é um ponto de sela, pois a curvatura é positiva em uma direção e negativa em outra.
Passo 4
Por fim, vamos esboçar as curvas de nível para
. As curvas de nível são dadas por
, onde
é o valor de
.
- Para
, as equações representam hipérboles que abrem ao longo do eixo . - Para
, as equações representam hipérboles que abrem ao longo do eixo . - Para
, a equação simplifica para , ou seja, as linhas e .
Comentando, podemos ver que conforme
aumenta, as hipérboles ficam mais abertas, e para
, temos as linhas que cruzam no ponto crítico, reforçando que esse ponto é uma sela.
Resposta
(a) O gráfico 3D de
é uma superfície hiperbólica tipo sela de Cavalieri.
(b) O único ponto crítico da função é
, que é um ponto de sela.
(c) As curvas de nível para
são hipérboles que abrem ao longo do eixo
para
e ao longo do eixo
para
. Para
, as curvas são as linhas
e
.