Ex 3. (plotando Superfície)
Considere a função:
f(x, y)=x^2-y^2
(a) Esboce o gráfico 3D da função.
(b) Determine e classifique o ponto crítico da função.
(c) Esboce as curvas de nível para f=-4,-1,0,1,4 e comente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve uma função de duas variáveis, f(x, y) = x^2 - y^2 . A matéria aqui é sobre gráficos 3D de funções, pontos críticos e curvas de nível. Para resolver isso, vamos precisar saber como plotar superfícies, encontrar derivadas parciais para identificar pontos críticos e entender como desenhar curvas de nível para diferentes valores de f .

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar o gráfico 3D da função f(x, y) = x^2 - y^2 . Essa função é conhecida como uma superfície hiperbólica, mais especificamente uma sela de Cavalieri. Isso porque, dependendo de como você corta a superfície, ela pode parecer uma parábola para uma direção e uma hipérbole para a outra. No gráfico, você verá algo que se parece com uma sela de cavalo, onde a superfície sobe em uma direção e desce na outra.

Passo 3

Agora, vamos determinar e classificar o ponto crítico da função. Primeiro, encontramos as derivadas parciais de f em relação a x e y :
fx = partial fpartial x = 2x
fy = partial fpartial y = -2y
Para achar os pontos críticos, igualamos essas derivadas a zero:
2x = 0 Rightarrow x = 0
-2y = 0 Rightarrow y = 0
Então, o único ponto crítico é (0, 0) . Para classificar esse ponto, analisamos a natureza da superfície. Como a função é do tipo x^2 - y^2 , sabemos que esse ponto é um ponto de sela, pois a curvatura é positiva em uma direção e negativa em outra.

Passo 4

Por fim, vamos esboçar as curvas de nível para f = -4, -1, 0, 1, 4 . As curvas de nível são dadas por x^2 - y^2 = c , onde c é o valor de f .
  • Para c > 0 , as equações x^2 - y^2 = c representam hipérboles que abrem ao longo do eixo x .
  • Para c < 0 , as equações representam hipérboles que abrem ao longo do eixo y .
  • Para c = 0 , a equação simplifica para x^2 = y^2 , ou seja, as linhas y = x e y = -x .
Comentando, podemos ver que conforme c aumenta, as hipérboles ficam mais abertas, e para c = 0 , temos as linhas que cruzam no ponto crítico, reforçando que esse ponto é uma sela.

Resposta

(a) O gráfico 3D de f(x, y) = x^2 - y^2 é uma superfície hiperbólica tipo sela de Cavalieri.
(b) O único ponto crítico da função é (0, 0) , que é um ponto de sela.
(c) As curvas de nível para f = -4, -1, 0, 1, 4 são hipérboles que abrem ao longo do eixo y para c < 0 e ao longo do eixo x para c > 0 . Para c = 0 , as curvas são as linhas y = x e y = -x .

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