Determine se a série é condicionalmente convergente, absolutamente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n-1 (n+1) 3^n2^2 n+1

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty(-1)^n-1(n+1),3^n2^2n+1
como condicionalmente convergente, absolutamente convergente ou divergente. Vamos precisar simplificar o termo geral, analisar a convergência da série de termos absolutos (teste da razão) e concluir.

Passo 2

Primeiro simplificamos o fator 2^2n+1. Temos
2^2n+1 ;=;2cdot2^2n=2cdot4^n,
logo o termo geral fica
an = (-1)^n-1(n+1),3^n2cdot4^n =;(-1)^n-1n+12l(34r)^n
Para estudar convergência absoluta, consideramos
|an| =n+12l(34r)^n

Passo 3

Aplicamos o teste da razão à série sum|an|. Seja
bn = n+12l(34r)^n
Então
bn+1bn =tfrac(n+2)2l(tfrac34r)^n+1tfrac(n+1)2l(tfrac34r)^n =n+2n+1cdot34 ;xrightarrow[ntoinfty];34
Como tfrac34<1, o teste da razão garante que sum bn converge. Logo a série dos valores absolutos sum|an| converge.

Passo 4

Como sum|an| converge, a série original também converge e, em particular, converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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