Resolva por transformadas de Laplace. Indique sempre a propriedade da tabela de transformadas de Laplace sendo utilizada em cada passo.
y^prime prime-3 y^prime+2 y=de<a(t-1)+e^2 t, y(0)=0, y^prime(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
y''-3y'+2y=de<a(t-1)+e^2t, y(0)=0,;y'(0)=1
usando transformada de Laplace. Vamos usar as seguintes propriedades da tabela:
  1. linearidade,
  2. Ly'=sY(s)-y(0),
  3. Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0),
  4. Lde<a(t-a)=e^-as,
  5. Le^at=1/(s-a).

Passo 2

Aplicando transformada de Laplace em ambos os lados e usando as propriedades 2, 3 e linearidade, obtemos
Ly''-3Ly'+2Ly =s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)-3l(sY(s)-y(0)r)+2Y(s)
Como y(0)=0 e y'(0)=1, isso vira
s^2Y(s)-1-3sY(s)+2Y(s)
No lado direito, pelas propriedades 4 e 5,
Lde<a(t-1) = e^-s, Le^2t = 1s-2

Passo 3

Igualando as transformadas:
s^2Y(s)-1-3sY(s)+2Y(s) = e^-s + 1s-2
Agrupando Y(s):
Y(s)l(s^2-3s+2r) = e^-s + 1s-2 + 1
Como s^2-3s+2=(s-1)(s-2), temos
Y(s) = e^-s+1s-2+1(s-1)(s-2)

Passo 4

Simplificamos a parte sem o fator e^-s:
1+1s-2(s-1)(s-2) =s-2+1s-2(s-1)(s-2) =s-1(s-2)(s-1)(s-2) =1(s-2)^2
Logo
Y(s) = e^-s(s-1)(s-2) +1(s-2)^2

Passo 5

Invertemos termo a termo:
  1. 1(s-2)^2 inverte pela tabela padrão, pois
Lt e^2t=1(s-2)^2
  1. e^-s(s-1)(s-2) inverte usando o segundo teorema do deslocamento no tempo:
L^-1e^-asF(s) = u(t-a),f(t-a)
Aqui a=1 e F(s)=1/[(s-1)(s-2)]. Fazendo frações parciais
1(s-1)(s-2) =-1s-1+1s-2,
cuja inversa é f(t)=e^2t-e^t. Logo o termo vira
u(t-1)l(e^2(t-1)-e^(t-1)r)

Resposta

y(t)=t,e^2t +u(t-1)l(e^2(t-1)-e^(t-1)r)

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