Resolva por transformadas de Laplace. Indique sempre a propriedade da tabela de transformadas de Laplace sendo utilizada em cada passo.
y^prime prime+4 y^prime+4 y=1+de<a(t-2), y(0)=2, y^prime(0)=3.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'' + 4y' + 4y = 1 + de<a(t-2), y(0)=2,;y'(0)=3
e pede para resolver por transformada de Laplace. Vamos precisar da propriedade de transformada de derivadas, da transformada de de<a(t-a), da linearidade e do teorema de deslocamento no tempo.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados, usando:
Ly'=sY(s)-y(0), Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0),
e a linearidade LAy+By'=A Ly+B Ly'.
Assim,
Ly''+4 Ly'+4 Ly =(s^2Y-2s-3)+4(sY-2)+4Y

Passo 3

No lado direito, usamos
L1=1/s e Lde<a(t-2)=e^-2s.
Logo a equação em s fica
(s^2+4s+4)Y(s)-2s-3-8 ;=;1s + e^-2s

Passo 4

Isolando Y(s), somamos 2s+11 em ambos os lados:
(s+2)^2Y(s)=1s + e^-2s +2s+11,
então
Y(s) =2s+11(s+2)^2+1s,(s+2)^2+e^-2s(s+2)^2

Passo 5

Separamos Y(s)=F(s)+e^-2sG(s) com
F(s)=2s+11(s+2)^2+1s,(s+2)^2, G(s)=1(s+2)^2

Passo 6

Decompondo em frações parciais:
2s+11(s+2)^2 =2s+2(s+2)^2+7(s+2)^2 =2s+2+7(s+2)^2,
1s(s+2)^2 =1/4s-1/4s+2-121(s+2)^2
Somando,
F(s)=14s+7/4s+2+13/2(s+2)^2
As inversas são
L^-11/s=1,
L^-11/(s+2)=e^-2t,
L^-11/(s+2)^2=t,e^-2t.
Logo
f(t)= L^-1F(s) =tfrac14+tfrac74e^-2t+tfrac132,t,e^-2t

Passo 7

Para e^-2sG(s) aplicamos o teorema do deslocamento no tempo:
se Lg(t)=G(s) então
L^-1e^-2sG(s)=H(t-2),g(t-2).
Aqui g(t)=t,e^-2t, logo
y2(t)=H(t-2),(t-2),e^-2(t-2)

Resposta

Combinando as duas partes, a solução é
y(t) =14+74e^-2t+132,t,e^-2t +H(t-2),(t-2),e^-2(t-2)

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