Resolva por transformadas de Laplace. Indique sempre a propriedade da tabela de transformadas de Laplace sendo utilizada em cada passo.
.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
e pede para resolver por transformada de Laplace. Vamos precisar da propriedade de transformada de derivadas, da transformada de
, da linearidade e do teorema de deslocamento no tempo.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados, usando:
e a linearidade
.
Assim,
Assim,
Passo 3
No lado direito, usamos
e
.
Logo a equação em fica
Logo a equação em
Passo 4
Isolando
, somamos
em ambos os lados:
então
Passo 5
Separamos
com
Passo 6
Decompondo em frações parciais:
Somando,
As inversas são
,
,
.
Logo
Logo
Passo 7
Para
aplicamos o teorema do deslocamento no tempo:
se então
.
Aqui , logo
se
Aqui
Resposta
Combinando as duas partes, a solução é