Uma aplicação importante da distribuição de Poisson surge juntamente com a ocorrência de eventos de um tipo particular no decorrer do tempo. Eventos de interesse podem incluir visitas a determinado site, pulsos registrados por um contador, mensagens de e-mail enviadas para determinado endereço, acidentes em uma fábrica ou chuva de raios cósmicos observada por astrônomos em determinado observatório. Façamos as seguintes hipóteses sobre a maneira como os eventos de interesse ocorrem:
i. Existe um parâmetro
tal que, para qualquer intervalo de tempo curto
, a probabilidade de ocorrer exatamente um evento é
ii. A probabilidade de ocorrer mais de um evento durante
é
[que, juntamente com a Hipótese i, implica que a probabilidade de não ocorrer eventos durante
é
].
iii. O número de eventos ocorrendo durante o intervalo de tempo
é independente do número ocorrido antes desse intervalo de tempo.
Informalmente, a Hipótese
diz que, para um intervalo de tempo curto, a probabilidade de ocorrer um único evento é aproximadamente proporcional à duração do intervalo de tempo, em que
é a constante de proporcionalidade. Agora, consideremos
a probabilidade de
eventos serem observados durante qualquer intervalo de tempo de duração
. Nesse, caso,
de modo que o número de eventos durante um intervalo de tempo
seja uma variável aleatória de Poisson com parâmetro
. O número esperado de eventos durante qualquer um de tais intervalos de tempo será
, de forma que o número esperado durante uma unidade de intervalo de tempo será
. A ocorrência de eventos com o passar do tempo conforme essa descrição é chamada processo de Poisson; o parâmetro
especifica a taxa do processo.
2.2. b) Utilize o resultado do item (a) para escrever uma expressão para a diferença
. Divida então por
e considere que
para obter uma equação envolvendo
, derivada de
em relação a
.
i. Existe um parâmetro
ii. A probabilidade de ocorrer mais de um evento durante
iii. O número de eventos ocorrendo durante o intervalo de tempo
Informalmente, a Hipótese
2.2. b) Utilize o resultado do item (a) para escrever uma expressão para a diferença
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre o Processo de Poisson, que é usado pra modelar a ocorrência de eventos ao longo do tempo, como visitas a um site ou recebimento de e-mails. A gente precisa usar a fórmula da distribuição de Poisson para resolver a diferença entre as probabilidades $ P_0(t + \Delta t) $ e $ P_0(t) $. Vamos precisar entender como essa probabilidade muda quando aumentamos o tempo em um pequeno intervalo $ \Delta t $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que $ P_0(t) $ é a probabilidade de não ocorrer nenhum evento no intervalo de tempo $ t $. Pela fórmula da Poisson:
Então, para um tempo um pouquinho maior, $ t + \Delta t $, a probabilidade é:
Passo 3
Agora, queremos ver a diferença entre essas duas probabilidades:
Vamos fatorar $ e^{-\alpha t} $ pra simplificar:
Passo 4
Sabemos que para $ \Delta t $ bem pequeno, podemos aproximar $ e^{-\alpha \Delta t} $ usando a expansão de Taylor:
Substituindo essa aproximação na diferença:
Passo 5
Agora, dividimos essa diferença por $ \Delta t $:
Passo 6
Por fim, quando deixamos $ \Delta t $ tendendo a zero, a aproximação se torna exata, e obtemos a derivada de $ P_0(t) $:
Resposta
A derivada de $ P_0(t) $ em relação a $ t $ é $ \frac{d}{dt} P_0(t) = -\alpha P_0(t) $.