Uma aplicação importante da distribuição de Poisson surge juntamente com a ocorrência de eventos de um tipo particular no decorrer do tempo. Eventos de interesse podem incluir visitas a determinado site, pulsos registrados por um contador, mensagens de e-mail enviadas para determinado endereço, acidentes em uma fábrica ou chuva de raios cósmicos observada por astrônomos em determinado observatório. Façamos as seguintes hipóteses sobre a maneira como os eventos de interesse ocorrem:
i. Existe um parâmetro alpha>0 tal que, para qualquer intervalo de tempo curto De, a probabilidade de ocorrer exatamente um evento é alpha De o(De
ii. A probabilidade de ocorrer mais de um evento durante De é o(De [que, juntamente com a Hipótese i, implica que a probabilidade de não ocorrer eventos durante De é 1-alpha De].
iii. O número de eventos ocorrendo durante o intervalo de tempo De é independente do número ocorrido antes desse intervalo de tempo.
Informalmente, a Hipótese i diz que, para um intervalo de tempo curto, a probabilidade de ocorrer um único evento é aproximadamente proporcional à duração do intervalo de tempo, em que alpha é a constante de proporcionalidade. Agora, consideremos Pk(t) a probabilidade de k eventos serem observados durante qualquer intervalo de tempo de duração t. Nesse, caso,
Pk(t)=e^-alpha t(alpha t)^kk!
de modo que o número de eventos durante um intervalo de tempo t seja uma variável aleatória de Poisson com parâmetro mu=alpha t. O número esperado de eventos durante qualquer um de tais intervalos de tempo será alpha t, de forma que o número esperado durante uma unidade de intervalo de tempo será alpha. A ocorrência de eventos com o passar do tempo conforme essa descrição é chamada processo de Poisson; o parâmetro alpha especifica a taxa do processo.
2.2. b) Utilize o resultado do item (a) para escrever uma expressão para a diferença P0(t+De. Divida então por De e considere que De para obter uma equação envolvendo dd t P0(t), derivada de P0(t) em relação a t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre o Processo de Poisson, que é usado pra modelar a ocorrência de eventos ao longo do tempo, como visitas a um site ou recebimento de e-mails. A gente precisa usar a fórmula da distribuição de Poisson para resolver a diferença entre as probabilidades $ P_0(t + \Delta t) $ e $ P_0(t) $. Vamos precisar entender como essa probabilidade muda quando aumentamos o tempo em um pequeno intervalo $ \Delta t $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que $ P_0(t) $ é a probabilidade de não ocorrer nenhum evento no intervalo de tempo $ t $. Pela fórmula da Poisson:
P0(t)
Então, para um tempo um pouquinho maior, $ t + \Delta t $, a probabilidade é:
t

Passo 3

Agora, queremos ver a diferença entre essas duas probabilidades:
P0(t + De
Vamos fatorar $ e^{-\alpha t} $ pra simplificar:
e^-alpha t

Passo 4

Sabemos que para $ \Delta t $ bem pequeno, podemos aproximar $ e^{-\alpha \Delta t} $ usando a expansão de Taylor:
De
Substituindo essa aproximação na diferença:
e^-alpha De

Passo 5

Agora, dividimos essa diferença por $ \Delta t $:
De

Passo 6

Por fim, quando deixamos $ \Delta t $ tendendo a zero, a aproximação se torna exata, e obtemos a derivada de $ P_0(t) $:
De

Resposta

A derivada de $ P_0(t) $ em relação a $ t $ é $ \frac{d}{dt} P_0(t) = -\alpha P_0(t) $.

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