Queuing significa esperar em fila para ser servido. Há muitos exemplos de queuing na vida cotidiana: esperar em um semáforo, esperar na fila para passar no caixa de um supermercado, esperar um elevador, esperar um telefonema e assim por diante. As distribuições de Poisson são utilizadas para modelar e prever o número de pessoas (ligações, programas de computador, veículos) que chegarão à fila. Nos exercícios a seguir, você deverá utilizar distribuições de Poisson para analisar os queues no caixa de um supermercado.
Nos exercícios de 3.1 a 3.7 , considere um supermercado que pode processar um total de quatro clientes em seu caixa por minuto.
3.6. Suponha que a média do número de chegada por minuto seja 5. Qual é a probabilidade de que 10 clientes cheguem durante o primeiro minuto?
Nos exercícios de 3.1 a 3.7 , considere um supermercado que pode processar um total de quatro clientes em seu caixa por minuto.
3.6. Suponha que a média do número de chegada por minuto seja 5. Qual é a probabilidade de que 10 clientes cheguem durante o primeiro minuto?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre filas, tipo aquelas que a gente espera no caixa do supermercado. A ideia aqui é usar a distribuição de Poisson, que ajuda a prever quantas pessoas chegam na fila em um certo tempo. No exercício 3.6, temos que em média, 5 clientes chegam por minuto. Queremos descobrir a probabilidade de que exatamente 10 clientes cheguem no primeiro minuto. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da distribuição de Poisson.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula da distribuição de Poisson. Ela é usada para calcular a probabilidade de um certo número de eventos acontecer em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e de forma independente. A fórmula é:
Onde:
- $ P(k; \lambda) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos.
- $ \lambda $ é a média de ocorrências (neste caso, 5 clientes por minuto).
- $ e $ é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828).
- $ k! $ é o fatorial de $ k $.
Passo 3
Agora, vamos identificar os valores que temos:
- $ \lambda = 5 $ (média de clientes por minuto)
- $ k = 10 $ (número de clientes que queremos saber a probabilidade)
Substituindo esses valores na fórmula:
Passo 4
Vamos calcular cada parte da fórmula passo a passo.
Primeiro, calculamos $ e^{-5} $:
Depois, calculamos $ 5^{10} $:
Em seguida, calculamos $ 10! $ (10 fatorial):
Passo 5
Agora, colocamos tudo junto na fórmula:
Primeiro, multiplicamos $ 0,006737947 $ por $ 9765625 $:
Depois, dividimos esse resultado por $ 3628800 $:
Resposta
A probabilidade de que 10 clientes cheguem durante o primeiro minuto é aproximadamente 18,13%.