Uma aplicação importante da distribuição de Poisson surge juntamente com a ocorrência de eventos de um tipo particular no decorrer do tempo. Eventos de interesse podem incluir visitas a determinado site, pulsos registrados por um contador, mensagens de e-mail enviadas para determinado endereço, acidentes em uma fábrica ou chuva de raios cósmicos observada por astrônomos em determinado observatório. Façamos as seguintes hipóteses sobre a maneira como os eventos de interesse ocorrem:
i. Existe um parâmetro
tal que, para qualquer intervalo de tempo curto
, a probabilidade de ocorrer exatamente um evento é
ii. A probabilidade de ocorrer mais de um evento durante
é
[que, juntamente com a Hipótese i, implica que a probabilidade de não ocorrer eventos durante
é
].
iii. O número de eventos ocorrendo durante o intervalo de tempo
é independente do número ocorrido antes desse intervalo de tempo.
Informalmente, a Hipótese
diz que, para um intervalo de tempo curto, a probabilidade de ocorrer um único evento é aproximadamente proporcional à duração do intervalo de tempo, em que
é a constante de proporcionalidade. Agora, consideremos
a probabilidade de
eventos serem observados durante qualquer intervalo de tempo de duração
. Nesse, caso,
de modo que o número de eventos durante um intervalo de tempo
seja uma variável aleatória de Poisson com parâmetro
. O número esperado de eventos durante qualquer um de tais intervalos de tempo será
, de forma que o número esperado durante uma unidade de intervalo de tempo será
. A ocorrência de eventos com o passar do tempo conforme essa descrição é chamada processo de Poisson; o parâmetro
especifica a taxa do processo.
3. Utilizando a distribuição de Poisson como modelos de Queuing
Queuing significa esperar em fila para ser servido. Há muitos exemplos de queuing na vida cotidiana: esperar em um semáforo, esperar na fila para passar no caixa de um supermercado, esperar um elevador, esperar um telefonema e assim por diante. As distribuições de Poisson são utilizadas para modelar e prever o número de pessoas (ligações, programas de computador, veículos) que chegarão à fila. Nos exercícios a seguir, você deverá utilizar distribuições de Poisson para analisar os queues no caixa de um supermercado.
Nos exercícios de 3.1 a 3.7 , considere um supermercado que pode processar um total de quatro clientes em seu caixa por minuto.
3.1. Suponha que a média do número de clientes que chagam ao caixa por minuto seja 4. Crie uma distribuição de Poisson com
para
a 20 . Gere um histograma e comente se a sua forma condiz com o que você esperava.
i. Existe um parâmetro
ii. A probabilidade de ocorrer mais de um evento durante
iii. O número de eventos ocorrendo durante o intervalo de tempo
Informalmente, a Hipótese
3. Utilizando a distribuição de Poisson como modelos de Queuing
Queuing significa esperar em fila para ser servido. Há muitos exemplos de queuing na vida cotidiana: esperar em um semáforo, esperar na fila para passar no caixa de um supermercado, esperar um elevador, esperar um telefonema e assim por diante. As distribuições de Poisson são utilizadas para modelar e prever o número de pessoas (ligações, programas de computador, veículos) que chegarão à fila. Nos exercícios a seguir, você deverá utilizar distribuições de Poisson para analisar os queues no caixa de um supermercado.
Nos exercícios de 3.1 a 3.7 , considere um supermercado que pode processar um total de quatro clientes em seu caixa por minuto.
3.1. Suponha que a média do número de clientes que chagam ao caixa por minuto seja 4. Crie uma distribuição de Poisson com
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a distribuição de Poisson, que é usada pra modelar a quantidade de eventos que acontecem em um certo período de tempo, como clientes chegando no caixa de um supermercado. Aqui, a média de clientes que chegam por minuto é 4, ou seja,
. Nosso objetivo é criar essa distribuição para valores de
de 0 a 20, fazer um histograma e ver se o formato bate com o que a gente espera.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada quando queremos saber a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo ou espaço, dadas algumas condições:
- Os eventos ocorrem de forma independente.
- A taxa média de ocorrência (
) é constante. - A probabilidade de mais de um evento ocorrer num intervalo muito pequeno é praticamente zero.
A fórmula da distribuição de Poisson é:
Onde:
-
é a probabilidade de ocorrer exatamente eventos no tempo . -
é o número médio de eventos no intervalo . -
é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2.71828). -
é o fatorial de .
Passo 3
No nosso caso,
clientes por minuto. Queremos calcular a probabilidade de ter de 0 a 20 clientes chegando em um minuto. Vamos calcular alguns valores para entender melhor:
Por exemplo, para
:
Para
:
E para
:
Passo 4
Agora, para criar o histograma, imaginamos um gráfico onde o eixo horizontal representa o número de clientes (
) de 0 a 20, e o eixo vertical mostra a probabilidade de cada número de clientes chegar no caixa. As barras do histograma vão variar de altura conforme a probabilidade calculada para cada
.
Passo 5
Ao desenhar o histograma com
, esperamos ver um pico em torno de
, já que essa é a média. Conforme nos afastamos desse valor, as probabilidades diminuem, formando uma distribuição assimétrica à direita. Isso condiz com a forma típica da distribuição de Poisson, onde a maioria dos eventos ocorre próximo da média, e as probabilidades decaem para valores maiores.
Resposta
Criamos a distribuição de Poisson com
para
de 0 a 20, geramos um histograma com um pico em
e uma queda nas probabilidades conforme nos afastamos desse valor. A forma do histograma está de acordo com o esperado para uma distribuição de Poisson, confirmando que a modelagem está correta.