Uma aplicação importante da distribuição de Poisson surge juntamente com a ocorrência de eventos de um tipo particular no decorrer do tempo. Eventos de interesse podem incluir visitas a determinado site, pulsos registrados por um contador, mensagens de e-mail enviadas para determinado endereço, acidentes em uma fábrica ou chuva de raios cósmicos observada por astrônomos em determinado observatório. Façamos as seguintes hipóteses sobre a maneira como os eventos de interesse ocorrem:
i. Existe um parâmetro alpha>0 tal que, para qualquer intervalo de tempo curto De, a probabilidade de ocorrer exatamente um evento é alpha De o(De
ii. A probabilidade de ocorrer mais de um evento durante De é o(De [que, juntamente com a Hipótese i, implica que a probabilidade de não ocorrer eventos durante De é 1-alpha De].
iii. O número de eventos ocorrendo durante o intervalo de tempo De é independente do número ocorrido antes desse intervalo de tempo.
Informalmente, a Hipótese i diz que, para um intervalo de tempo curto, a probabilidade de ocorrer um único evento é aproximadamente proporcional à duração do intervalo de tempo, em que alpha é a constante de proporcionalidade. Agora, consideremos Pk(t) a probabilidade de k eventos serem observados durante qualquer intervalo de tempo de duração t. Nesse, caso,
Pk(t)=e^-alpha t(alpha t)^kk!
de modo que o número de eventos durante um intervalo de tempo t seja uma variável aleatória de Poisson com parâmetro mu=alpha t. O número esperado de eventos durante qualquer um de tais intervalos de tempo será alpha t, de forma que o número esperado durante uma unidade de intervalo de tempo será alpha. A ocorrência de eventos com o passar do tempo conforme essa descrição é chamada processo de Poisson; o parâmetro alpha especifica a taxa do processo.
3. Utilizando a distribuição de Poisson como modelos de Queuing
Queuing significa esperar em fila para ser servido. Há muitos exemplos de queuing na vida cotidiana: esperar em um semáforo, esperar na fila para passar no caixa de um supermercado, esperar um elevador, esperar um telefonema e assim por diante. As distribuições de Poisson são utilizadas para modelar e prever o número de pessoas (ligações, programas de computador, veículos) que chegarão à fila. Nos exercícios a seguir, você deverá utilizar distribuições de Poisson para analisar os queues no caixa de um supermercado.
Nos exercícios de 3.1 a 3.7 , considere um supermercado que pode processar um total de quatro clientes em seu caixa por minuto.
3.1. Suponha que a média do número de clientes que chagam ao caixa por minuto seja 4. Crie uma distribuição de Poisson com mu=4 para x=0 a 20 . Gere um histograma e comente se a sua forma condiz com o que você esperava.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a distribuição de Poisson, que é usada pra modelar a quantidade de eventos que acontecem em um certo período de tempo, como clientes chegando no caixa de um supermercado. Aqui, a média de clientes que chegam por minuto é 4, ou seja, mu = 4. Nosso objetivo é criar essa distribuição para valores de x de 0 a 20, fazer um histograma e ver se o formato bate com o que a gente espera.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada quando queremos saber a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo ou espaço, dadas algumas condições:
  1. Os eventos ocorrem de forma independente.
  2. A taxa média de ocorrência ( mu) é constante.
  3. A probabilidade de mais de um evento ocorrer num intervalo muito pequeno é praticamente zero.
A fórmula da distribuição de Poisson é:
Pk(t) = e^-mu mu^kk!
Onde:
  • Pk(t) é a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos no tempo t.
  • mu é o número médio de eventos no intervalo t.
  • e é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2.71828).
  • k! é o fatorial de k.

Passo 3

No nosso caso, mu = 4 clientes por minuto. Queremos calcular a probabilidade de ter de 0 a 20 clientes chegando em um minuto. Vamos calcular alguns valores para entender melhor:
Por exemplo, para k=0:
P0(4) = e^-4 cdot 4^00! = e^-4 cdot 1 / 1 approx 0,0183 ou 1,83%
Para k=4:
P4(4) = e^-4 cdot 4^44! = e^-4 cdot 25624 approx 0,1954 ou 19,54%
E para k=8:
P8(4) = e^-4 cdot 4^88! = e^-4 cdot 6553640320 approx 0,0653 ou 6,53%

Passo 4

Agora, para criar o histograma, imaginamos um gráfico onde o eixo horizontal representa o número de clientes ( x) de 0 a 20, e o eixo vertical mostra a probabilidade de cada número de clientes chegar no caixa. As barras do histograma vão variar de altura conforme a probabilidade calculada para cada x.

Passo 5

Ao desenhar o histograma com mu = 4, esperamos ver um pico em torno de x = 4, já que essa é a média. Conforme nos afastamos desse valor, as probabilidades diminuem, formando uma distribuição assimétrica à direita. Isso condiz com a forma típica da distribuição de Poisson, onde a maioria dos eventos ocorre próximo da média, e as probabilidades decaem para valores maiores.

Resposta

Criamos a distribuição de Poisson com mu = 4 para x de 0 a 20, geramos um histograma com um pico em x = 4 e uma queda nas probabilidades conforme nos afastamos desse valor. A forma do histograma está de acordo com o esperado para uma distribuição de Poisson, confirmando que a modelagem está correta.

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