Queuing significa esperar em fila para ser servido. Há muitos exemplos de queuing na vida cotidiana: esperar em um semáforo, esperar na fila para passar no caixa de um supermercado, esperar um elevador, esperar um telefonema e assim por diante. As distribuições de Poisson são utilizadas para modelar e prever o número de pessoas (ligações, programas de computador, veículos) que chegarão à fila. Nos exercícios a seguir, você deverá utilizar distribuições de Poisson para analisar os queues no caixa de um supermercado.
Nos exercícios de 3.1 a 3.7 , considere um supermercado que pode processar um total de quatro clientes em seu caixa por minuto.
b) Crie uma tabela que mostre o número de clientes esperando ao final de 1 até 20 minutos.
Nos exercícios de 3.1 a 3.7 , considere um supermercado que pode processar um total de quatro clientes em seu caixa por minuto.
b) Crie uma tabela que mostre o número de clientes esperando ao final de 1 até 20 minutos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre filas de espera, tipo aquelas que a gente vê no caixa do supermercado. A gente vai usar a Distribuição de Poisson, que serve para modelar o número de chegadas de clientes em intervalos de tempo fixos. Aqui, o supermercado consegue atender 4 clientes por minuto. Para resolver isso, vamos precisar assumir uma taxa de chegada de clientes (quantos clientes chegam por minuto), já que ela não foi dada. Vou assumir que chegam, por exemplo, 6 clientes por minuto. Com isso, vamos calcular quantos clientes ficam esperando ao final de cada minuto, de 1 até 20 minutos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Distribuição de Poisson. Ela nos ajuda a calcular a probabilidade de um certo número de eventos (neste caso, chegadas de clientes) ocorrer em um intervalo de tempo, dado que esses eventos ocorrem com uma taxa média constante e de forma independente.
A fórmula da Distribuição de Poisson é:
onde:
- $ P(k; \lambda) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos,
- $ \lambda $ é a taxa média de eventos por intervalo,
- $ e $ é a base do logaritmo natural,
- $ k! $ é o fatorial de $ k $.
Passo 3
Agora, vamos calcular a média de chegadas por minuto. Assumimos que chegam, em média, 6 clientes por minuto ($ \lambda = 6 $). O caixa consegue atender 4 clientes por minuto. Então, a cada minuto, esperamos que a diferença entre chegadas e atendimentos acumulative clientes na fila.
Passo 4
Vamos criar uma tabela para acompanhar o número de clientes na fila a cada minuto. A ideia é:
- Para cada minuto, calculamos o número esperado de chegadas usando a média $ \lambda = 6 $.
- Subtraímos os clientes atendidos pelo caixa (4 por minuto).
- Se o resultado for positivo, adicionamos essa diferença à fila acumulada. Se for negativo, significa que o caixa conseguiu atender todos os clientes esperando, e a fila fica zero.
Passo 5
Vamos montar a tabela passo a passo:
-
Minuto 1:
- Chegadas esperadas: 6
- Atendidos: 4
- Fila acumulada: $ 6 - 4 = 2 $
-
Minuto 2:
- Chegadas esperadas: 6
- Atendidos: 4
- Fila anterior: 2
- Nova fila: $ 2 + 6 - 4 = 4 $
-
Minuto 3:
- Chegadas esperadas: 6
- Atendidos: 4
- Fila anterior: 4
- Nova fila: $ 4 + 6 - 4 = 6 $
E assim por diante, até o minuto 20.
Passo 6
Agora, vamos finalizar a tabela completa para os 20 minutos:
Minuto | Chegadas | Atendidos | Fila Acumulada |
---|---|---|---|
1 | 6 | 4 | 2 |
2 | 6 | 4 | 4 |
3 | 6 | 4 | 6 |
4 | 6 | 4 | 8 |
5 | 6 | 4 | 10 |
6 | 6 | 4 | 12 |
7 | 6 | 4 | 14 |
8 | 6 | 4 | 16 |
9 | 6 | 4 | 18 |
10 | 6 | 4 | 20 |
11 | 6 | 4 | 22 |
12 | 6 | 4 | 24 |
13 | 6 | 4 | 26 |
14 | 6 | 4 | 28 |
15 | 6 | 4 | 30 |
16 | 6 | 4 | 32 |
17 | 6 | 4 | 34 |
18 | 6 | 4 | 36 |
19 | 6 | 4 | 38 |
20 | 6 | 4 | 40 |
Resposta
A tabela abaixo mostra o número de clientes esperando ao final de cada minuto, de 1 até 20 minutos:
Minuto | Clientes na Fila |
---|---|
1 | 2 |
2 | 4 |
3 | 6 |
4 | 8 |
5 | 10 |
6 | 12 |
7 | 14 |
8 | 16 |
9 | 18 |
10 | 20 |
11 | 22 |
12 | 24 |
13 | 26 |
14 | 28 |
15 | 30 |
16 | 32 |
17 | 34 |
18 | 36 |
19 | 38 |
20 | 40 |