Queuing significa esperar em fila para ser servido. Há muitos exemplos de queuing na vida cotidiana: esperar em um semáforo, esperar na fila para passar no caixa de um supermercado, esperar um elevador, esperar um telefonema e assim por diante. As distribuições de Poisson são utilizadas para modelar e prever o número de pessoas (ligações, programas de computador, veículos) que chegarão à fila. Nos exercícios a seguir, você deverá utilizar distribuições de Poisson para analisar os queues no caixa de um supermercado.
Nos exercícios de 3.1 a 3.7 , considere um supermercado que pode processar um total de quatro clientes em seu caixa por minuto.
3.7. Suponha que a média do número de chegadas por minuto seja 4.
a) Qual é a probabilidade de que três, quatro ou cinco clientes cheguem durante o terceiro minuto?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um supermercado que consegue atender 4 clientes por minuto no caixa. A média de chegadas de clientes por minuto também é 4. O que a gente precisa descobrir aqui é qual a probabilidade de, no terceiro minuto, chegarem 3, 4 ou 5 clientes. Vamos usar a Distribuição de Poisson para resolver isso, que é ótima para modelar eventos que acontecem de forma aleatória em um intervalo fixo de tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Distribuição de Poisson. Ela serve para calcular a probabilidade de que um certo número de eventos aconteça em um intervalo de tempo, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e de forma independente. A fórmula é:
P(k; lambda) = e^-lambda lambda^kk!
Onde:
  • $ P(k; \lambda) $ é a probabilidade de exatamente $ k $ eventos ocorrerem.
  • $ \lambda $ é a média de eventos por intervalo.
  • $ e $ é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2,71828).
  • $ k! $ é o fatorial de $ k $.

Passo 3

No nosso caso, a média $ \lambda $ é 4 clientes por minuto. Queremos calcular para $ k = 3 $, $ k = 4 $ e $ k = 5 $. Vamos calcular cada uma dessas probabilidades separadamente usando a fórmula da Poisson.

Passo 4

Vamos começar com $ k = 3 $:
k = 3

Passo 5

Agora, para $ k = 4 $:
k = 4

Passo 6

E para $ k = 5 $:
k = 5

Passo 7

Agora, para encontrar a probabilidade de chegarem 3, 4 ou 5 clientes no terceiro minuto, a gente soma as três probabilidades que calculamos:
P(3 ou 4 ou 5; 4) = P(3; 4) + P(4; 4) + P(5; 4) approx 0,1952 + 0,1952 + 0,1562 approx 0,5466

Resposta

A probabilidade de que 3, 4 ou 5 clientes cheguem durante o terceiro minuto é aproximadamente 54,66%.

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