Numa aplicação a juro simples um capital produz em 2 meses o montante de \mathrm{R} \ 5.460,00 . Se aplicado à mesma taxa mensal, o mesmo capital produziria, ao final de 5 meses, o montante deà\mathrm{R} $5.850,00 . O valor desse capital é (a) \(\mathrm{R} \\) 5.280,00
(b) \mathrm{R} \ 5.200,00$
(c) \mathrm{R} \ 5.180,00$
(d) \mathrm{R} \ 5.100,00$
(e) \mathrm{R} \ 5.008,00$

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor do capital (o principal) que, aplicado a juro simples à mesma taxa mensal, gera os montantes dados.
Dados fornecidos (copiados do enunciado):
\text{Montante após }2\text{ meses } = 5.460{,}00ó
\text{Montante após }5\text{ meses } = 5.850{,}00ó
Pergunta: qual é o valor do capital inicial (principal)? As opções são:
(a) \mathrm{R}\$ \\\ 5.280{,}00 \n
(b) \mathrm{R}\$ \\\ 5.200{,}00 \n
(c) \mathrm{R}\$ \\\ 5.180{,}00 \n
(d) \mathrm{R}\$ \\\ 5.100{,}00 \n
(e) \mathrm{R}\$ \\\ 5.008{,}00

Passo 2

Vamos apresentar a fórmula que usamos em juro simples e entender cada símbolo, explicando devagarinho.
Em juro simples, o montante M obtido aplicando um capital P à taxa por período i por n períodos é dado por:
M = P(1 + i n)
Onde:
  • M é o montante (capital + juros) ao final de n períodos;
  • P é o capital inicial (o que queremos achar);
  • i é a taxa por período (aqui, taxa mensal);
  • n é o número de períodos (aqui, meses).
    Intuição: os juros simples acumulados são P i n, então montante é P + P i n = P(1+i n). Um exemplo rápido: se P=1000, i=0{,}01 (1% ao mês) e n=2, então M=1000(1+0{,}01\cdot2)=1000(1{,}02)=1020.

Passo 3

Aplicando a fórmula aos dois dados do enunciado (sempre escrevendo cada número como matemática):
Para n=2 meses:
M_2 = P(1 + 2i) = 5.460{,}00
Para n=5 meses:
M_5 = P(1 + 5i) = 5.850{,}00
Essas são as duas equações com as duas incógnitas P e i.

Passo 4

Uma técnica muito útil é subtrair as duas equações para eliminar o termo P sem os juros (o P\cdot 1). Subtraindo M_2 de M_5:
M_5 - M_2 = P(1+5i) - P(1+2i) = P(5i) - P(2i) = 3P i.
Agora substituímos os valores numéricos (pego do enunciado):
5.850{,}00 - 5.460{,}00 = 3P i.
Calcule a diferença:
390{,}00 = 3P i.
Dividindo ambos os lados por 3:
P i = 130{,}00.
Interpretação: o produto P\cdot i vale 130 (unidade monetária por mês), isto é, os juros gerados por um mês sobre o capital valem 130.

Passo 5

Agora usamos uma das equações originais para achar P. Usando M_2 = P(1+2i)=5.460{,}00: escrevemos o termo 2i como 2\cdot i e substituímos P i = 130{,}00:
5.460{,}00 = P + 2(P i) = P + 2\cdot130{,}00.
Calcule 2\cdot130{,}00:
5.460{,}00 = P + 260{,}00.
Isolando P:
P = 5.460{,}00 - 260{,}00 = 5.200{,}00.
Portanto o capital inicial é \mathrm{R}\$ \\\ 5.200{,}00.

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom conferir): com P=5.200{,}00 e P i = 130{,}00, temos i = 130{,}00/5.200{,}00 = 0{,}025 ou 2{,}5\% ao mês. Montante em 5 meses:
M_5 = P(1+5i) = P + 5(Pi) = 5.200{,}00 + 5\cdot130{,}00 = 5.200{,}00 + 650{,}00 = 5.850{,}00,
bate certinho com o enunciado. Tudo coerente.

Resposta

\mathrm{R}\$ \\\ 5.200{,}00 (b)

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