Uma pessoa recebeu um empréstimo de um banco comercial de \mathrm{R} \ 10.000,00 para pagar\mathrm{R} $12.000,00 ao final de cinco meses, mas foi obrigada a manter\mathrm{R} $ 2.000,00 de saldo em sua conta durante a vigência do empréstimo. Considerando que a pessoa retirou osêé\mathrm{R} $2.000,00$ do empréstimo recebido e os utilizou para pagamento do montante no final, indique a taxa real de juros paga.
(a) 20 \% ao semestre
(b) 4 \% ao mês, considerando juros simples
(c) 10 \% ao mês, considerando juros simples
(d) 20 \% no período
(e) 5 \% ao mês, juros simples

Passo 1

O enunciado pede que a gente indique a taxa real de juros paga, dado um empréstimo com as condições descritas. Informações fornecidas pelo enunciado que vamos usar explicitamente:
  • Montante (valor a ser pago ao final de cinco meses): M = R\$\,12.000,00.
  • Valor nominal recebido do banco (principal contratado): P = R\$\,10.000,00.
  • Durante a vigência do empréstimo a pessoa foi obrigada a manter um saldo mínimo de R\$\,2.000,00 na conta.
  • O enunciado diz para considerar que esse saldo de R\$\,2.000,00 foi retirado do empréstimo recebido (ou seja, faz parte do P) e só foi usado no pagamento do montante no final.
    A pergunta é: qual é a taxa real de juros paga (as alternativas são dadas)?

Passo 2

Entendendo o que significa “taxa real” aqui (explicação didática):
  • Quando o banco exige que eu mantenha um saldo compensatório que foi descontado do empréstimo, eu não tenho disponível todo o P. Então a taxa real é a relação entre o juro cobrado e o dinheiro que eu efetivamente pude usar.
  • Fórmula básica de juros simples para o total do período: o juro total cobrado é I = M - P, onde M é o montante final e P o principal nominal. Mas o denominador para calcular a taxa real não será o P inteiro: será o “principal efetivamente disponível” para o tomador.

Passo 3

Calcular o juro total cobrado no período (5 meses):
  • I = M - P.
  • Substituindo os valores: I = R\$\,12.000,00 - R\$\,10.000,00 = R\$\,2.000,00.

Passo 4

Calcular o valor efetivamente disponível para uso pelo tomador:
  • Como R\$\,2.000,00 do empréstimo teve de ficar retido como saldo, o dinheiro que o tomador pôde efetivamente usar foi
P_{\text{efetivo}} = P - 2.000 = R\$\,10.000,00 - R\$\,2.000,00 = R\$\,8.000,00.

Passo 5

Calcular a taxa real no período de 5 meses (explicando a fórmula):
  • A taxa efetiva para o período é a razão entre o juro total cobrado e o capital efetivamente usado:
r_{\text{período}} = \frac{I}{P_{\text{efetivo}}}.í
  • Substituindo:
r_{\text{período}} = \frac{R\$\,2.000,00}{R\$\,8.000,00} = 0{,}25 = 25\% \text{ no período de 5 meses.}íí

Passo 6

Converter a taxa do período (5 meses) para taxa mensal, supondo juros simples (porque as alternativas falam em juros simples por mês):
  • Em regime de juros simples, a taxa mensal é a taxa do período dividida pelo número de meses:
r_{\text{mensal}} = \frac{r_{\text{período}}}{5} = \frac{0{,}25}{5} = 0{,}05 = 5\%.í
  • Portanto, a taxa real paga é 5\% ao mês, em juros simples.

Passo 7

Breve checagem com as alternativas para confirmar:
  • (b) 4\% ao mês → em 5 meses seria 4\%\times5=20\% no período (dá 20% no período), o que não coincide com os 25\% que encontramos.
  • (c) 10\% ao mês → em 5 meses = 50\% no período, muito maior.
  • (d) 20\% no período → diferente dos 25\% reais.
  • (a) 20\% ao semestre → semestre são 6 meses e também não corresponde ao que calculamos.
  • A alternativa que corresponde a 5\% ao mês, juros simples, é a (e).

Resposta

(e) 5\% ao mês, juros simples

Exercícios relacionados