(2,0) A aplicação linear F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por:
F(1,0,0)=(1,1,0) ; F(0,1,0)=(0,0,1) ; F(0,0,1)=(1,-1,6) é bijetora?

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação linear \,F:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3},
definida pelos valores em vetores da base canônica:
F(1,0,0)=(1,1,0),\quad F(0,1,0)=(0,0,1),\quad F(0,0,1)=(1,-1,6).
Como a dimensão do domínio e do contradomínio é a mesma, F é bijetora se, e somente se, for invertível. Para isso, vamos montar a matriz de F e calcular seu determinante.

Passo 2

Na base canônica, a matriz A de F tem colunas dadas por F(e_{1}),F(e_{2}),F(e_{3}). Logo,
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & 6 \end{pmatrix}.

Passo 3

Vamos calcular \det(A) usando expansão pela primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & -1\\\ 1 & 6\end{pmatrix} -0\cdot(\cdots) +1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Agora,
\det\begin{pmatrix}0 & -1\\\ 1 & 6\end{pmatrix} =0\cdot6 - (-1)\cdot1 = 1, \quad \det\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix} =1.
Logo,
\det(A) = 1\cdot1 + 1\cdot1 = 2 \neq 0.

Passo 4

Como \det(A)\neq0, a matriz A é invertível. Isso implica que a aplicação linear F também é invertível, e portanto bijetora.

Resposta

Sim, F é bijetora.

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