(1,0) Sejam u_{1}=(3,2) e u_{2}=(1,1) e x=(7,4). Encontre as coordenadas de x em relação a u_{1} e u_{2}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as coordenadas de x=(7,4) na base formada pelos vetores u_{1}=(3,2) e u_{2}=(1,1). Vamos usar o conceito de combinação linear: achar escalares \alpha e \beta tais que
\alpha\,u_{1}+\beta\,u_{2}=x.

Passo 2

Escrevendo \alpha(3,2)+\beta(1,1)=(7,4) componente a componente, obtemos o sistema
\begin{cases} 3\alpha+\beta=7,\\\\ 2\alpha+\beta=4. \end{cases}

Passo 3

Subtraindo a segunda equação da primeira, eliminamos \beta:
(3\alpha+\beta)-(2\alpha+\beta)=7-4 \quad\Longrightarrow\quad \alpha=3.

Passo 4

Substituindo \alpha=3 em 2\alpha+\beta=4, vem
2\cdot3+\beta=4 \quad\Longrightarrow\quad \beta=4-6=-2.

Resposta

As coordenadas de x na base \{u_{1},u_{2}\} são (3,-2).

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