(2,0) Verifique se b=\left[\begin{array}{c}-2 \\\\ 10\end{array}\right] é imagem de A=\left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\\\ 4 & -6\end{array}\right]. Se for, expresse b como combinação linear dos vetores colunas de A.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe um vetor \mathbf{x} = (x_1,x_2) tal que
A\mathbf{x} = b,
onde
A=\begin{pmatrix}1 & 3 \\[6pt]4 & -6\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad b=\begin{pmatrix}-2 \\[3pt]10\end{pmatrix}.
Isso equivale a ver se b está no espaço gerado pelas colunas de A e, em caso afirmativo, escrever
b = x_1\,\begin{pmatrix}1\\\ 4\end{pmatrix} + x_2\,\begin{pmatrix}3\\\ -6\end{pmatrix}.]

Passo 2

Para encontrar (x_1,x_2)\) montamos o sistema linear \[\begin{cases} x_1 + 3x_2 = -2,\\\\ 4x_1 - 6x_2 = 10. \end{cases}
Aqui usamos a definição de multiplicação de matriz por vetor, combinando cada linha de A\] com os componentes de \(\mathbf{x}.

Passo 3

Resolvendo por eliminação, multiplico a primeira equação por 4 e subtraio da segunda:
\begin{aligned} 4(x_1 + 3x_2) &= 4\cdot(-2)\;\Longrightarrow\;4x_1 + 12x_2 = -8,\\\ (4x_1 + 12x_2) - (4x_1 - 6x_2) &= -8 - 10\;\Longrightarrow\;18x_2 = -18\;\Longrightarrow\;x_2 = -1. \end{aligned}
Substituindo x_2 = -1 em x_1 + 3x_2 = -2,
x_1 + 3(-1) = -2 \quad\Longrightarrow\quad x_1 - 3 = -2 \quad\Longrightarrow\quad x_1 = 1.

Passo 4

Achamos \mathbf{x} = (1,-1), logo existe solução e b pertence à imagem de A. Escrevemos então
b = 1\!\begin{pmatrix}1\\\ 4\end{pmatrix} + (-1)\!\begin{pmatrix}3\\\ -6\end{pmatrix}.

Resposta

b = 1\begin{pmatrix}1\\\ 4\end{pmatrix} - 1\begin{pmatrix}3\\\ -6\end{pmatrix}.

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