Questão 14:(20 pts) Considre o vetor
, obtenha vetores
e
tais que o conjunto
seja formado por vetores dois a dois ortogonais, isto é
. Dado
, obtenha escalares
e
tais que
.
Passo 1
O enunciado nos dá o vetor
e pede dois vetores
e
tais que o conjunto
seja formado por vetores dois a dois ortogonais (isto é,
,
e
). Em seguida, com
, precisamos achar escalares
de modo que
Aqui vamos usar produto escalar para impor as condições de ortogonalidade e, depois, a projeção em base ortogonal (coeficiente
) para achar
.
Passo 2
Para escolher
ortogonal a
, resolvemos
Para simplificar, fixamos
e escolhemos
. Então
Assim, uma escolha simples é
Passo 3
Para obter
ortogonal a ambos
e
, usamos o produto vetorial:
Computando componente a componente,
Passo 4
Agora decompondo
na base ortogonal
, cada coeficiente é dado por
Calculamos:
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