Questão 14:(20 pts) Considre o vetor U=(1,2,-1), obtenha vetores V e W tais que o conjunto \{U, V, W\} seja formado por vetores dois a dois ortogonais, isto é U \cdot V=U \cdot W=V \cdot W=0. Dado X=(1,-1,1), obtenha escalares \alpha, \beta e \delta tais que X=\alpha U+\beta V+\delta W.

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor U=(1,2,-1) e pede dois vetores V e W tais que o conjunto \{U,V,W\} seja formado por vetores dois a dois ortogonais (isto é, U\cdot V=0, U\cdot W=0 e V\cdot W=0). Em seguida, com X=(1,-1,1), precisamos achar escalares \alpha,\beta,\delta de modo que
X = \alpha U + \beta V + \delta W.
Aqui vamos usar produto escalar para impor as condições de ortogonalidade e, depois, a projeção em base ortogonal (coeficiente =(X\cdot B)/(B\cdot B)) para achar \alpha,\beta,\delta.

Passo 2

Para escolher V ortogonal a U, resolvemos
U\cdot V = 1\cdot v_1 + 2\cdot v_2 + (-1)\cdot v_3 = 0.
Para simplificar, fixamos v_3=0 e escolhemos v_1=2. Então
2 + 2\,v_2 + 0 = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_2 = -1.
Assim, uma escolha simples é
V = (2,-1,0).

Passo 3

Para obter W ortogonal a ambos U e V, usamos o produto vetorial:
W = U \times V = (1,2,-1)\times(2,-1,0).
Computando componente a componente,
W = \bigl(2\cdot0 - (-1)\cdot(-1),\;(-1)\cdot2 - 1\cdot0,\;1\cdot(-1) - 2\cdot2\bigr) = (-1,-2,-5).

Passo 4

Agora decompondo X na base ortogonal \{U,V,W\}, cada coeficiente é dado por
\alpha = \frac{X\cdot U}{U\cdot U},\quad \beta = \frac{X\cdot V}{V\cdot V},\quad \delta = \frac{X\cdot W}{W\cdot W}.
Calculamos:
U\cdot U = 1^2+2^2+(-1)^2 = 6,\quad X\cdot U = 1\cdot1 + (-1)\cdot2 + 1\cdot(-1) = -2,
V\cdot V = 2^2+(-1)^2+0^2 = 5,\quad X\cdot V = 1\cdot2 +(-1)\cdot(-1)+1\cdot0 = 3,
W\cdot W = (-1)^2+(-2)^2+(-5)^2 = 30,\quad X\cdot W = 1\cdot(-1)+(-1)\cdot(-2)+1\cdot(-5) = -4.
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\alpha = \frac{-2}{6} = -\tfrac{1}{3},\quad \beta = \frac{3}{5},\quad \delta = \frac{-4}{30} = -\tfrac{2}{15}.

Resposta

V = (2,-1,0) W = (-1,-2,-5) \displaystyle \alpha = -\tfrac{1}{3},\;\beta = \tfrac{3}{5},\;\delta = -\tfrac{2}{15}.

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