Questão 13:(10 pts) Obtenha a equação simétrica da reta de interseção dos planos \pi_{1}: x- 2 y+z+1=0 e \pi_{2}: x+y-2 z-1=0.

Passo 1

O enunciado pede a equação simétrica da reta que é a interseção dos planos \pi_{1}:x-2y+z+1=0 e \pi_{2}:x+y-2z-1=0.
Conteúdo: geometria analítica no espaço. Vamos precisar obter (1) o vetor diretor da reta como produto vetorial dos normais aos planos e (2) um ponto qualquer que satisfaça ambos os planos.

Passo 2

Os vetores normais dos planos são \vec n_{1}=(1,-2,1) e \vec n_{2}=(1,1,-2).
O vetor diretor da reta é
\vec v=\vec n_{1}\times\vec n_{2} =(\,(-2)\cdot(-2)-1\cdot1,\;1\cdot1-1\cdot(-2),\;1\cdot1-(-2)\cdot1\,) =(3,3,3).
Podemos simplificar para \vec v=(1,1,1).

Passo 3

Para encontrar um ponto P na reta, atribuímos um valor a uma variável. Seja x=0.
Substituindo em \pi_{1}:
0-2y+z+1=0\;\Longrightarrow\;z=2y-1.
Substituindo em \pi_{2}:
0+y-2z-1=0\;\Longrightarrow\;y-2(2y-1)-1=0\;\Longrightarrow\;-3y+1=0\;\Longrightarrow\;y=\tfrac13,
logo z=2\cdot\tfrac13-1=-\tfrac13.
Assim, um ponto da reta é
P\bigl(0,\tfrac13,-\tfrac13\bigr).

Passo 4

A equação paramétrica da reta é
\bigl(x,y,z\bigr) =\bigl(0,\tfrac13,-\tfrac13\bigr)+t\,(1,1,1).
Convertendo para a forma simétrica, temos
\frac{x-0}{1}=\frac{y-\tfrac13}{1}=\frac{z+\tfrac13}{1}.

Resposta

\frac{x}{1}=\frac{y-\tfrac{1}{3}}{1}=\frac{z+\tfrac{1}{3}}{1}.

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