A aplicação linear T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} dada por
T(1,0,0)=(1,1,0), \quad T(0,1,0)=(0,0,1) \quad \text { e } \quad T(0,0,1)=(1,-1,6)
é um automorfismo?

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação linear
T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3
definida pelos valores em \,(1,0,0),\,(0,1,0) e (0,0,1)
e pede para decidir se T é um automorfismo, isto é, se é invertível. Para isso, basta montar a matriz da transformação na base canônica e verificar se o determinante é não nulo.

Passo 2

Na base canônica \{e_1,e_2,e_3\} temos
T(e_1)=(1,1,0),\quad T(e_2)=(0,0,1),\quad T(e_3)=(1,-1,6).
Logo, a matriz de T é
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & 6 \end{pmatrix},
cuja j-ésima coluna é T(e_j).

Passo 3

Vamos calcular
\det A =1\cdot\bigl(0\cdot6 -(-1)\cdot1\bigr) -0\cdot(\dots) +1\cdot\bigl(1\cdot1-0\cdot0\bigr).
Isso dá
\det A =1\cdot(0+1)+1\cdot1 =1+1 =2.

Passo 4

Como \det A=2\neq0, a matriz A é invertível. Logo, T é bijetora e preserva a estrutura linear, ou seja, é um automorfismo de \mathbb{R}^3.

Resposta

Sim. T é um automorfismo, pois \det A=2\neq0.

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