Seja T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) a transformação linear tal que
T(1,0,0)=2+x^{2}+x^{3}, \quad T(0,1,0)=1+x^{2}, \quad T(0,0,1)=x^{2}-x^{3} .
a) Determine T(x, y, z).
b) Determine uma base para o subespaço \operatorname{Im}(T).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T\colon \mathbb{R}^3\to \mathcal{P}_3(\mathbb{R}) com
T(1,0,0)=2+x^2+x^3,\quad T(0,1,0)=1+x^2,\quad T(0,0,1)=x^2-x^3
e pede:
a) a expressão geral de T(x,y,z),
b) uma base de \operatorname{Im}(T).
Vamos usar a definição de linearidade e depois estudar a dependência linear dos polinômios dados.

Passo 2

Pela linearidade, para qualquer (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 vale
T(x,y,z)=x\,T(1,0,0)+y\,T(0,1,0)+z\,T(0,0,1).
Substituindo os valores conhecidos:
T(x,y,z) =x\bigl(2+x^2+x^3\bigr) +y\bigl(1+x^2\bigr) +z\bigl(x^2-x^3\bigr).
Agora basta agrupar termos semelhantes.

Passo 3

Agrupando os termos constantes, de x, de x^2 e de x^3 obtemos
T(x,y,z) =2x + y +\bigl(x + y + z\bigr)x^2 +\bigl(x - z\bigr)x^3.

Passo 4

Para a imagem, temos
\operatorname{Im}(T)=\Span\bigl\{\,2+x^2+x^3,\;1+x^2,\;x^2-x^3\bigr\}.
Note que existe a relação
2\,(1+x^2)-\bigl(2+x^2+x^3\bigr) =2+2x^2-2 -x^2 -x^3 =x^2 - x^3,
isto é,
2\,T(0,1,0)-T(1,0,0) = T(0,0,1).
Logo esses três vetores são linearmente dependentes e basta tomar dois geradores independentes.

Resposta

a)
T(x,y,z)=2x + y + (x+y+z)\,x^2 + (x - z)\,x^3.
b) Uma base de \operatorname{Im}(T) é, por exemplo,
\bigl\{\,2+x^2+x^3,\;1+x^2\bigr\}.

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