Determine uma transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} tal que \mathbb{R}^{3}=\mathrm{Ker}(T) \oplus \mathrm{W}, onde $W=S({(2,2,1) ;(1,0,1)}).

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4 tal que
\mathbb{R}^3=\ker(T)\oplus W,
onde
W=\span\bigl\{(2,2,1),\,(1,0,1)\bigr\}.
O conteúdo envolve subespaços complementares, o teorema da dimensão (rank–nullity) e construção de T estendendo-a a partir de uma base bem escolhida.

Passo 2

Observamos que \dim(W)=2 pois (2,2,1) e (1,0,1) são LI em \mathbb{R}^3. Pelo teorema da dimensão, em geral
\dim(\ker(T))+\dim(\Im(T))=3.
Para que a soma com W seja direta e cubra todo \mathbb{R}^3, queremos \Im(T)\simeq W, logo \dim(\Im(T))=2 e \dim(\ker(T))=1.

Passo 3

Escolhemos um vetor v\notin W para gerar \ker(T). Um bom candidato é
v=(0,1,0).
Para ver que v\notin W, tente resolver
a(2,2,1)+b(1,0,1)=(0,1,0),
o que não tem solução. Assim \{w_1=(2,2,1),\,w_2=(1,0,1),\,v=(0,1,0)\} é base de \mathbb{R}^3.

Passo 4

Definimos T em relação a essa base por
T(w_1)=(1,0,0,0),\quad T(w_2)=(0,1,0,0),\quad T(v)=(0,0,0,0).
Então \ker(T)=\span\{v\} tem dimensão 1, e \Im(T)=\span\{(1,0,0,0),(0,1,0,0)\} tem dimensão 2, isomorfo a W. Isso garante \mathbb{R}^3=\ker(T)\oplus W.

Passo 5

Para obter a fórmula explícita, escreva
(x,y,z)=\alpha\,w_1+\beta\,w_2+\gamma\,v \quad\Longrightarrow\quad (x,y,z)=(2\alpha+\beta,\;2\alpha+\gamma,\;\alpha+\beta).
Dessas equações segue \alpha=x-z e \beta=2z-x. Como T(x,y,z)=(\alpha,\beta,0,0), temos
T(x,y,z) = \bigl(x-z,\;2z-x,\;0,\;0\bigr).

Resposta

Uma transformação que satisfaz o enunciado é
T(x,y,z)=\bigl(x-z,\;2z-x,\;0,\;0\bigr).
De fato, \ker(T)=\{(0,y,0)\} e \mathbb{R}^3=\span\{(0,1,0)\}\oplus W.

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