Determine uma transformação linear
tal que
, onde $W=S({(2,2,1) ;(1,0,1)}).
Passo 1
O enunciado pede uma transformação linear
tal que
onde
O conteúdo envolve subespaços complementares, o teorema da dimensão (rank–nullity) e construção de
estendendo-a a partir de uma base bem escolhida.
Passo 2
Observamos que
pois
e
são LI em
. Pelo teorema da dimensão, em geral
Para que a soma com
seja direta e cubra todo
, queremos
, logo
e
.
Passo 3
Escolhemos um vetor
para gerar
. Um bom candidato é
Para ver que
, tente resolver
o que não tem solução. Assim
é base de
.
Passo 4
Definimos
em relação a essa base por
Então
tem dimensão 1, e
tem dimensão 2, isomorfo a
. Isso garante
.
Passo 5
Para obter a fórmula explícita, escreva
Dessas equações segue
e
. Como
, temos
Resposta
Uma transformação que satisfaz o enunciado é
De fato,
e
.