Considere o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por T(x, y, z)= (4 x-y+6 z, 2 x+y+6 z, 2 x-y+8 z).
(1) Determine a matriz de T em relação à C, base canonica de \mathbb{R}^{3};
(2) Faça o estudo completo (polinômio característico, autovalores, autoespaços,…) para determinar se T é diagonalizável, caso afirmativo encontre uma matriz M tal que M^{-1}(T)_{C} M é diagonal.
Passo 1
O enunciado define um operador linear T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 dado por
T(x,y,z) = (4x - y + 6z,\;2x + y + 6z,\;2x - y + 8z).
Precisamos (1) encontrar a matriz de T na base canônica C de \mathbb{R}^3 e (2) fazer o estudo espectral (polinômio característico, autovalores, autovetores, autoespaços), verificar se T é diagonalizável e, em caso afirmativo, exibir uma matriz M que diagonaliza.
Passo 2
Para achar a matriz de T em relação à base canônica, calculamos as imagens dos vetores e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0) e e_3=(0,0,1):
\bigl((T)_C -2I\bigr)v = 0 \;\Longrightarrow\; 2x - y +6z = 0 \;\Longrightarrow\; v = s(1,2,0) + t(0,6,1),
logo o autoespaço de \lambda=2 tem dimensão 2, igual à sua multiplicidade algébrica. Assim há 3 autovetores linearmente independentes e T é diagonalizável.
Passo 6
Escolhendo como colunas de M dois autovetores de \lambda=2 e um de \lambda=9, por exemplo
(2) O polinômio característico é \lambda^3 -13\lambda^2 +40\lambda -36 = (\lambda-2)^2(\lambda-9).
Os autovalores são \lambda=2 (mult.\ alg.\ 2, autoespaço gerado por (1,2,0),(0,6,1)) e \lambda=9 (mult.\ alg.\ 1, autoespaço gerado por (1,1,1)).
Como a soma das dimensões dos autoespaços é 3, T é diagonalizável. Uma matriz que realiza a diagonalização é