Considere o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por T(x, y, z)= (4 x-y+6 z, 2 x+y+6 z, 2 x-y+8 z).
(1) Determine a matriz de T em relação à C, base canonica de \mathbb{R}^{3};
(2) Faça o estudo completo (polinômio característico, autovalores, autoespaços,…) para determinar se T é diagonalizável, caso afirmativo encontre uma matriz M tal que M^{-1}(T)_{C} M é diagonal.

Passo 1

O enunciado define um operador linear T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 dado por
T(x,y,z) = (4x - y + 6z,\;2x + y + 6z,\;2x - y + 8z).
Precisamos (1) encontrar a matriz de T na base canônica C de \mathbb{R}^3 e (2) fazer o estudo espectral (polinômio característico, autovalores, autovetores, autoespaços), verificar se T é diagonalizável e, em caso afirmativo, exibir uma matriz M que diagonaliza.

Passo 2

Para achar a matriz de T em relação à base canônica, calculamos as imagens dos vetores e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0) e e_3=(0,0,1):
T(e_1) = (4,2,2),\quad T(e_2) = (-1,1,-1),\quad T(e_3) = (6,6,8).
A matriz (T)_C tem essas colunas:
(T)_C = \begin{pmatrix} 4 & -1 & 6\\\\ 2 & 1 & 6\\\\ 2 & -1 & 8 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para o polinômio característico, consideramos (T)_C - \lambda I e calculamos o determinante:
\det\bigl((T)_C - \lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix} 4-\lambda & -1 & 6\\\\ 2 & 1-\lambda & 6\\\\ 2 & -1 & 8-\lambda \end{pmatrix} = -\lambda^3 +13\lambda^2 -40\lambda +36.
Multiplicando por -1, obtemos
\lambda^3 -13\lambda^2 +40\lambda -36 = 0.

Passo 4

Fatorando o polinômio:
\lambda^3 -13\lambda^2 +40\lambda -36 = (\lambda-2)^2(\lambda-9).
Logo os autovalores são \lambda=2 (multiplicidade algébrica 2) e \lambda=9 (multiplicidade algébrica 1).

Passo 5

Para \lambda=9, resolvemos
\bigl((T)_C -9I\bigr)v = 0 \;\Longrightarrow\; v\in\Span\{(1,1,1)\}.
Para \lambda=2, resolvemos
\bigl((T)_C -2I\bigr)v = 0 \;\Longrightarrow\; 2x - y +6z = 0 \;\Longrightarrow\; v = s(1,2,0) + t(0,6,1),
logo o autoespaço de \lambda=2 tem dimensão 2, igual à sua multiplicidade algébrica. Assim há 3 autovetores linearmente independentes e T é diagonalizável.

Passo 6

Escolhendo como colunas de M dois autovetores de \lambda=2 e um de \lambda=9, por exemplo
v_1=(1,2,0),\quad v_2=(0,6,1),\quad v_3=(1,1,1),
definimos
M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 2 & 6 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Então
M^{-1}(T)_C\,M = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}.

Resposta

(1) A matriz de T na base canônica é
(T)_C = \begin{pmatrix} 4 & -1 & 6\\\\ 2 & 1 & 6\\\\ 2 & -1 & 8 \end{pmatrix}.
(2) O polinômio característico é \lambda^3 -13\lambda^2 +40\lambda -36 = (\lambda-2)^2(\lambda-9).
Os autovalores são \lambda=2 (mult.\ alg.\ 2, autoespaço gerado por (1,2,0),(0,6,1)) e \lambda=9 (mult.\ alg.\ 1, autoespaço gerado por (1,1,1)).
Como a soma das dimensões dos autoespaços é 3, T é diagonalizável. Uma matriz que realiza a diagonalização é
M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 2 & 6 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad M^{-1}(T)_C\,M = \diag(2,2,9).

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