Aplicação Prática
Em uma escola, 30 alunos fazem Matemática, 20 fazem Física e 10 fazem ambos. Responda:
a) Quantos alunos fazem apenas Matemática?
b) Quantos alunos fazem apenas Física?
c) Quantos alunos fazem pelo menos uma das duas disciplinas?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um problema onde numa escola, 30 alunos estão fazendo Matemática, 20 estão fazendo Física e 10 estão fazendo as duas matérias ao mesmo tempo. A gente vai usar um pouco de teoria de conjuntos, especificamente o Princípio da Inclusão-Exclusão, pra descobrir:
a) Quantos alunos estão fazendo só Matemática?
b) Quantos estão fazendo só Física?
c) Quantos estão fazendo pelo menos uma das duas matérias?

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Princípio da Inclusão-Exclusão. Ele ajuda a contar elementos que estão em conjuntos que se sobrepõem. No nosso caso, temos dois conjuntos: alunos de Matemática e alunos de Física. A fórmula geral é:
|A cup B| = |A| + |B| - |A cap B|
Onde:
  • |A cup B| é o número de alunos que estão fazendo pelo menos uma das matérias.
  • |A| é o número de alunos que fazem Matemática.
  • |B| é o número de alunos que fazem Física.
  • |A cap B| é o número de alunos que fazem ambas as matérias.

Passo 3

Vamos começar com a parte (a): Quantos alunos fazem apenas Matemática?
A gente sabe que 30 alunos fazem Matemática no total, mas 10 desses também fazem Física. Então, pra descobrir quantos fazem só Matemática, a gente subtrai os que fazem ambas as matérias do total de Matemática.
Somente Matemática = |A| - |A cap B| = 30 - 10 = 20 á

Passo 4

Agora, parte (b): Quantos alunos fazem apenas Física?
De forma similar, 20 alunos fazem Física no total, e 10 deles também fazem Matemática. Então, pra saber quantos fazem só Física, a gente subtrai os que fazem ambas as matérias do total de Física.
Somente Física = |B| - |A cap B| = 20 - 10 = 10 í

Passo 5

Finalmente, parte (c): Quantos alunos fazem pelo menos uma das duas disciplinas?
Aqui, usamos a fórmula do Princípio da Inclusão-Exclusão que mencionei no Passo 2. A gente soma o total de alunos que fazem Matemática e Física e depois subtrai os que fazem ambas, pra não contar esses alunos duas vezes.
|A cup B| = |A| + |B| - |A cap B| = 30 + 20 - 10 = 40

Resposta

a) 20 alunos fazem apenas Matemática.
b) 10 alunos fazem apenas Física.
c) 40 alunos fazem pelo menos uma das duas disciplinas.

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