Aplicação Prática
Em uma escola, 30 alunos fazem Matemática, 20 fazem Física e 10 fazem ambos. Responda:
a) Quantos alunos fazem apenas Matemática?
b) Quantos alunos fazem apenas Física?
c) Quantos alunos fazem pelo menos uma das duas disciplinas?
a) Quantos alunos fazem apenas Matemática?
b) Quantos alunos fazem apenas Física?
c) Quantos alunos fazem pelo menos uma das duas disciplinas?
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um problema onde numa escola, 30 alunos estão fazendo Matemática, 20 estão fazendo Física e 10 estão fazendo as duas matérias ao mesmo tempo. A gente vai usar um pouco de teoria de conjuntos, especificamente o Princípio da Inclusão-Exclusão, pra descobrir:
a) Quantos alunos estão fazendo só Matemática?
b) Quantos estão fazendo só Física?
c) Quantos estão fazendo pelo menos uma das duas matérias?
b) Quantos estão fazendo só Física?
c) Quantos estão fazendo pelo menos uma das duas matérias?
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Princípio da Inclusão-Exclusão. Ele ajuda a contar elementos que estão em conjuntos que se sobrepõem. No nosso caso, temos dois conjuntos: alunos de Matemática e alunos de Física. A fórmula geral é:
Onde:
-
é o número de alunos que estão fazendo pelo menos uma das matérias. -
é o número de alunos que fazem Matemática. -
é o número de alunos que fazem Física. -
é o número de alunos que fazem ambas as matérias.
Passo 3
Vamos começar com a parte (a): Quantos alunos fazem apenas Matemática?
A gente sabe que 30 alunos fazem Matemática no total, mas 10 desses também fazem Física. Então, pra descobrir quantos fazem só Matemática, a gente subtrai os que fazem ambas as matérias do total de Matemática.
Passo 4
Agora, parte (b): Quantos alunos fazem apenas Física?
De forma similar, 20 alunos fazem Física no total, e 10 deles também fazem Matemática. Então, pra saber quantos fazem só Física, a gente subtrai os que fazem ambas as matérias do total de Física.
Passo 5
Finalmente, parte (c): Quantos alunos fazem pelo menos uma das duas disciplinas?
Aqui, usamos a fórmula do Princípio da Inclusão-Exclusão que mencionei no Passo 2. A gente soma o total de alunos que fazem Matemática e Física e depois subtrai os que fazem ambas, pra não contar esses alunos duas vezes.
Resposta
a) 20 alunos fazem apenas Matemática.
b) 10 alunos fazem apenas Física.
c) 40 alunos fazem pelo menos uma das duas disciplinas.