Considere X uma v.a. contínua com função densidade de probabilidade dada por
f(x)= 1+x, & se -1<x<0 1-x, & se 0<x<1 0, & caso contrário á
Determine a esperança matemática e a variância.
Resp.: E(x)=0 ; Var(x)=16.

Passo 1

O enunciado apresenta uma v.a. contínua
e pede a esperança . Vamos usar as definições

Passo 2

Para calcular E(X), note que f(-x)=f(x) para todo xin(0,1). Então x,f(x) é uma função ímpar em [-1,1] e, pela propriedade da integral de função ímpar em intervalo simétrico,
E(X) =integral-1^1x,f(x),dx =0

Passo 3

Agora calculamos E(X^2) pela definição:
E(X^2) =integral-1^0x^2l(1+xr),dx +integral0^1x^2l(1-xr),dx
Expandindo os integrandos,
E(X^2) =integral-1^0l(x^2+x^3r),dx +integral0^1l(x^2-x^3r),dx

Passo 4

Calculamos as duas integrais usando antiderivadas:
integral x^2,dx=x^33, integral x^3,dx=x^44
Então
integral-1^0l(x^2+x^3r),dx =l[x^33+x^44r]-1^0 =0-l(-13+14r) =112,
integral0^1l(x^2-x^3r),dx =l[x^33-x^44r]0^1 =13-14 =112

Passo 5

Somando os resultados,
E(X^2) =112+112 =16
Como E(X)=0, segue que
Var(X) =E(X^2)-l[E(X)r]^2 =16-0 =16

Resposta

E(X)=0; Var(X)=tfrac16.

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