A quantidade de cerveja vendida diariamente numa feira (em milhares de litros) é uma variável aleatória com a seguinte função densidade de probabilidade
f(x)= k x, & se 0 <= x <= 4 k cdot(12-2 x), & se 4<x <= 6 0, & caso contrário á
a) Obtenha o valor de k e de E[3 x+2].
b) Considere os acontecimentos abaixo e indique, justificando, se A e B são independentes:
A= “venda diária superior a 4000 litros”
B= “venda diária entre 3000 e 5000 litros”
Resp.: a) k=112 e E[3 x+2]=11,99; b) Não são independentes.

Passo 1

O enunciado dá uma variável contínua
Pede-se (a) determinar ; (b) checar se os eventos
são independentes.

Passo 2

Para achar k usamos a condição de normalização integral-infty^inftyf(x),dx=1.
integral0^4k,x,dx ;+;integral4^6k,(12-2x),dx ;=;1
Calculemos cada integral:
integral0^4k,x,dx = k;x^22|0^4 = kcdot162=8k,
integral4^6k,(12-2x),dx = kl[12x - x^2r]4^6 = kl[(72-36)-(48-16)r] = k,(36-32)=4k
Logo 8k+4k=12k=1, de onde
k = 112

Passo 3

Primeiro calculamos .
Para :
Somando:
Então

Passo 4

Agora os eventos A e B:
A=X>4, B=3<= X<=5
Calculamos as probabilidades:
P(A)=integral4^6f(x),dx =integral4^6112(12-2x),dx =412=13
P(B) =integral3^4112x,dx ;+;integral4^5112(12-2x),dx =3,512+312 =6,512
P(Acap B) =integral4^5112(12-2x),dx =312=tfrac14

Passo 5

Para independência precisaríamos
P(Acap B);=;P(A),P(B)
Mas
P(A),P(B) =13cdot6,512 =6,536approx0,18 neq 14=0,25
Logo A e B não são independentes.

Resposta

k
Os eventos e não são independentes.

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