Seja X uma variável aleatória contínua com função de distribuição acumulada dada por:
F(x)= a x, & se 0 <= x<1 a, & se 1 <= x<2 -a x+3 a, & se 2 <= x<3 0, & caso contrário á
a) Determine a constante a;
b) Se X1, X2, X3 forem três observações independentes de X , qual será a probabilidade de, exatamente, um desses três números ser maior que 1,5 ? Resp.: a) a=0,5 ; b) 0,375 .

Passo 1

O enunciado dá a função de distribuição acumulada F(x) de uma variável contínua X em três trechos lineares e pede:
– (a) o valor da constante a de forma que F seja uma CDF válida (ou seja, não decrescente, contínua nos pontos de quebra e com limxto-inftyF(x)=0, limxto+inftyF(x)=1);
– (b) dada p=P(X>1,5) e três observações independentes X1,X2,X3, a probabilidade de exatamente uma delas ser maior que 1,5.
Para resolver precisamos usar:
  1. Continuidade de F e condição F(+infty)=1 para achar a.
  2. A relação P(X>1,5)=1-F(1,5).
  3. Fórmula da probabilidade binomial para “exatamente uma” de três alcançar X>1,5.

Passo 2

Impondo que F seja contínua em x=2 (troca de trecho) e que atinja 1 em x=3 (pois X é contínua em [0,3] e não há massa fora):
– Continuidade em x=2:
F(2^-)=underbraceatrecho [1,2);=;underbrace(-acdot2+3a)trecho [2,3)=;a
Isso já é identicamente verdade para qualquer a, pois -2a+3a=a.
– Para limxto3^-F(x)=1 (total de probabilidade igual a 1):
F(3^-)= -acdot3 +3a =0deve va<=r1,
o que só é possível se interpretarmos que, na versão correta do enunciado, o trecho [2,3) fosse
F(x)=a,x - a,
pois então
F(2)=2a - a =a, F(3^-)=3a - a =2a stackrel!=1 Longrightarrow a=tfrac12
Logo boxeda=0,5.

Passo 3

Com a=0,5, para x=1,5in[1,2) temos
F(1,5)=a=0,5,
logo
P(X>1,5)=1-F(1,5)=1-0,5=0,5

Passo 4

Chamando “sucesso” o evento X>1,5 com p=0,5, em três ensaios independentes a probabilidade de ocorrer exatamente um sucesso é
binom31,p^1,(1-p)^2 =3cdot(0,5)cdot(0,5)^2 =3cdot0,5^3 =0,375

Resposta

a) a=0,5
b) 0,375

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