Seja X uma variável aleatória contínua com função de distribuição acumulada dada por:
a) Determine a constante a;
b) Se X1, X2, X3 forem três observações independentes de X , qual será a probabilidade de, exatamente, um desses três números ser maior que 1,5 ? Resp.: a) a=0,5 ; b) 0,375 .
Passo 1
O enunciado dá a função de distribuição acumulada F(x) de uma variável contínua X em três trechos lineares e pede:
– (a) o valor da constante a de forma que F seja uma CDF válida (ou seja, não decrescente, contínua nos pontos de quebra e com limxto-inftyF(x)=0, limxto+inftyF(x)=1);
– (b) dada p=P(X>1,5) e três observações independentes X1,X2,X3, a probabilidade de exatamente uma delas ser maior que 1,5.
Para resolver precisamos usar:
Continuidade de F e condição F(+infty)=1 para achar a.
A relação P(X>1,5)=1-F(1,5).
Fórmula da probabilidade binomial para “exatamente uma” de três alcançar X>1,5.
Passo 2
Impondo que F seja contínua em x=2 (troca de trecho) e que atinja 1 em x=3 (pois X é contínua em [0,3] e não há massa fora):
– Continuidade em x=2: