A percentagem de álcool ( 100 X ) em certo composto pode ser considerada uma variável aleatória, onde X tem a seguinte função densidade:
20 x^3(1-x), 0<x<1
a) Estabeleça a função de distribuição acumulada.
b) Calcule P(X <= 23).
c) Suponha que o preço de venda desse composto dependa do conteúdo de álcool. Especificadamente, se 13<X<23, o composto é vendido por C1 dólares/galão; caso contrário, é vendido por C2 dólares/galão, determine o lucro médio por galão.
Resp: a) F(X)= 0, & se x<0 5 x^4-4 x^5, & se 0 <= x <= 1 1, & se x>1 b) 0,4609 ; c) C1(0,4156)+C2(0,5844)

Passo 1

O enunciado diz que X é uma variável aleatória contínua com densidade
f(x)=20,x^3(1-x), 0<x<1
Precisamos encontrar:
– (a) a função de distribuição acumulada F(x)=P(X<= x);
– (b) a probabilidade Pl(X<= tfrac23r);
– (c) o lucro médio por galão, sabendo que o preço é C1 se tfrac13<X<tfrac23 e C2 caso contrário.
Conteúdo usado: integração de polinômios para obter F(x) e cálculo de esperança de função de X.

Passo 2

Para achar a função de distribuição acumulada em 0<= x<=1, integramos a densidade:
F(x)=integral0^x20,t^3(1-t),dt =integral0^xl(20t^3-20t^4r),dt =20l[tfract^44-tfract^55r]0^x =5x^4-4x^5
Fora desse intervalo, temos
F(x)= 0,&x<0, 5x^4-4x^5,&0<= x<=1, 1,&x>1

Passo 3

Para b, basta avaliar F em x=tfrac23:
Pl(X<=tfrac23r)=Fl(tfrac23r) =5l(tfrac23r)^4-4l(tfrac23r)^5 =8081-128243 =112243approx0,4609

Passo 4

Para o lucro médio, definimos o preço g(X) por
g(X)= C1,&tfrac13<X<tfrac23, C2,&caso contrário á
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E[g(X)] =C1,Pl(tfrac13<X<tfrac23r) +C2,Pl(X<=tfrac13 ou X>=tfrac23r)
Calculamos
Pl(tfrac13<X<tfrac23r) =Fl(tfrac23r)-Fl(tfrac13r) =112243-l(5l(tfrac13r)^4-4l(tfrac13r)^5r) =112243-11243 =101243approx0,4156
e portanto
Pl(X<=tfrac13 ou X>=tfrac23r) =1-101243 =142243approx0,5844
Assim o lucro médio é
E[g(X)]=C1,101243+C2,142243

Resposta

a)
F(x)= 0,&x<0, 5x^4-4x^5,&0<= x<=1, 1,&x>1
b)
Pl(X<=tfrac23r)=112243approx0,4609
c)
Lucro médio =C1,101243+C2,142243 approx C1(0,4156)+C2(0,5844) é

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