A aplicação
é uma forma quadrática? Qual a matriz que representa
na base canônica de
?
Passo 1
O enunciado define a aplicação
por
Uma forma quadrática em
é uma função homogênea de grau 2 que pode ser escrita como
para alguma matriz simétrica
. Para responder, vamos expandir o quadrado, extrair os coeficientes dos monômios e montar a matriz associada.
Passo 2
Expandimos
. Usando a identidade
com
,
,
, obtemos
Passo 3
Em coordenadas canônicas, uma forma quadrática geral em
é
onde
é simétrica. Igualando termos a
vemos que
Resposta
Sim,
é uma forma quadrática, e a matriz que a representa na base canônica de
é