A aplicação q((x, y, z))=(x-y+z)^2 é uma forma quadrática? Qual a matriz que representa q na base canônica de R^3 ?

Passo 1

O enunciado define a aplicação qcolon R^3 to R por
q((x,y,z)) = (x - y + z)^2
Uma forma quadrática em R^3 é uma função homogênea de grau 2 que pode ser escrita como q(v)=v^T A v para alguma matriz simétrica A. Para responder, vamos expandir o quadrado, extrair os coeficientes dos monômios e montar a matriz associada.

Passo 2

Expandimos (x - y + z)^2. Usando a identidade
(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc
com a = x, b = -y, c = z, obtemos
(x - y + z)^2 = x^2 + (-y)^2 + z^2 + 2,x(-y) + 2,x z + 2,(-y)z = x^2 + y^2 + z^2 -2xy + 2xz -2yz

Passo 3

Em coordenadas canônicas, uma forma quadrática geral em R^3 é
q(x,y,z) = a11x^2 + a22y^2 + a33z^2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz,
onde A=(aij) é simétrica. Igualando termos a
x^2 + y^2 + z^2 -2xy + 2xz -2yz
vemos que
a11=1, a22=1, a33=1,
2a12=-2implies a12=a21=-1, 2a13=2implies a13=a31=1, 2a23=-2implies a23=a32=-1

Resposta

Sim, q é uma forma quadrática, e a matriz que a representa na base canônica de R^3 é
A = 1 & -1 & 1 -1 & 1 & -1 1 & -1 & 1

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