Seja f uma forma bilinear simétrica e q sua forma quadrática, mostre:
f(u, v)=14(q(u+v)-q(u-v))

Passo 1

O enunciado diz que f é uma forma bilinear simétrica e que q é a forma quadrática associada, ou seja,
q(w)=f(w,w)
Precisamos usar a bilinearidade e a simetria de f para obter a identidade de polarização
f(u,v)=14l(q(u+v)-q(u-v)r)

Passo 2

Calculemos q(u+v) usando bilinearidade:
q(u+v)=f(u+v,u+v) =f(u,u)+f(u,v)+f(v,u)+f(v,v)
Como f é simétrica, f(u,v)=f(v,u), logo
q(u+v)=f(u,u)+2f(u,v)+f(v,v)

Passo 3

De modo análogo, calculemos q(u-v):
q(u-v)=f(u-v,u-v) =f(u,u)-f(u,v)-f(v,u)+f(v,v)
e pela simetria f(u,v)=f(v,u) vem
q(u-v)=f(u,u)-2f(u,v)+f(v,v)

Passo 4

Subtraindo as duas expressões:
q(u+v)-q(u-v) =l(f(u,u)+2f(u,v)+f(v,v)r) -l(f(u,u)-2f(u,v)+f(v,v)r) =4,f(u,v)

Passo 5

Bastou isolar f(u,v) dividindo por 4:
f(u,v)=14l(q(u+v)-q(u-v)r)

Resposta

f(u,v)=14l(q(u+v)-q(u-v)r)

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