Seja
um espaço vetorial e
e
funcionais lineares sobre
. Prove que
, dada por
é uma forma bilinear sobre
.
Passo 1
O enunciado define um espaço vetorial
sobre
e dois funcionais lineares
. Queremos provar que a aplicação
é bilinear, isto é, que
é linear em cada argumento quando o outro é fixo.
Passo 2
Mostramos que
é linear em
para cada
fixo. Como
é linear e
é um escalar, para quaisquer
e
vale:
e
Isso prova a aditividade e a homogeneidade de
em relação a
.
Passo 3
Agora mostramos que
é linear em
para cada
fixo. Como
é linear e
é escalar, para quaisquer
e
vale:
e
Isso prova a aditividade e a homogeneidade de
em relação a
.
Passo 4
Como
satisfaz linearidade (aditividade e homogeneidade) em cada argumento separadamente, concluímos que
é bilinear.
Resposta
A aplicação
é uma forma bilinear sobre
.