Seja V um espaço vetorial e g e h funcionais lineares sobre V. Prove que f: V times V R, dada por f(u, v)=g(u) h(v) é uma forma bilinear sobre V.

Passo 1

O enunciado define um espaço vetorial V sobre R e dois funcionais lineares g,h:VtoR. Queremos provar que a aplicação
f:Vtimes VtoR, f(u,v)=g(u),h(v)
é bilinear, isto é, que f é linear em cada argumento quando o outro é fixo.

Passo 2

Mostramos que f é linear em u para cada v fixo. Como g é linear e h(v) é um escalar, para quaisquer u,u'in V e lambdainR vale:
f(u+u',v) = g(u+u'),h(v) = l(g(u)+g(u')r),h(v) = g(u),h(v) + g(u'),h(v) = f(u,v) + f(u',v),
e
f(lambda u,v) = g(lambda u),h(v) = lambda,g(u),h(v) = lambda,f(u,v)
Isso prova a aditividade e a homogeneidade de f em relação a u.

Passo 3

Agora mostramos que f é linear em v para cada u fixo. Como h é linear e g(u) é escalar, para quaisquer v,v'in V e muinR vale:
f(u,v+v') = g(u),h(v+v') = g(u),l(h(v)+h(v')r) = g(u),h(v) + g(u),h(v') = f(u,v) + f(u,v'),
e
f(u,mu v) = g(u),h(mu v) = g(u),l(mu,h(v)r) = mu,g(u),h(v) = mu,f(u,v)
Isso prova a aditividade e a homogeneidade de f em relação a v.

Passo 4

Como f satisfaz linearidade (aditividade e homogeneidade) em cada argumento separadamente, concluímos que f é bilinear.

Resposta

A aplicação f(u,v)=g(u),h(v) é uma forma bilinear sobre V.

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