Considere a forma quadrática,
, determine a matriz que representa
na base:
.
Passo 1
O enunciado pede a matriz da forma quadrática
na base
.
O conteúdo é representação de forma quadrática em base qualquer, e vamos precisar (1) achar a matriz de
na base canônica e (2) usar
O conteúdo é representação de forma quadrática em base qualquer, e vamos precisar (1) achar a matriz
onde
é a forma bilinear associada.
Passo 2
Na base canônica
temos a matriz simétrica
tal que
.
Os coeficientes são:
Os coeficientes são:
Logo
Passo 3
Para a base
alpha , a matriz procurada é
M de entradas
com
v1=(0,0,1) ,
v2=(1,-1,2) ,
v3=(2,1,2) .
Passo 4
Calculemos primeiro
A vi :
Passo 5
Agora
Mij=vi^T(A,vj) .
-
.M11=v1^T(A,v1)=(0,0,1)cdot(-tfrac32,tfrac12,-1)=-1 -
.M12=v1^T(A,v2)=(0,0,1)cdot(-4,1,-4)=-4 -
.M13=v1^T(A,v3)=(0,0,1)cdot(-2,4,-tfrac92)=-tfrac92 -
.M22=v2^T(A,v2)=(1,-1,2)cdot(-4,1,-4)=-13 -
.M23=v2^T(A,v3)=(1,-1,2)cdot(-2,4,-tfrac92)=-15 -
.M33=v3^T(A,v3)=(2,1,2)cdot(-2,4,-tfrac92)=-9
E simetrizando .M21=M12,,M31=M13,,M32=M23