Considere a forma quadrática, q: R^3 R, q(x, y, z)=y^2-z^2+2 x y-3 x z+y z, determine a matriz que representa q na base: alpha=v1=(0,0,1), v2=(1,-1,2), v3=(2,1,2).

Passo 1

O enunciado pede a matriz da forma quadrática
q(x,y,z)=y^2-z^2+2xy-3xz+yz
na base alpha=v1=(0,0,1),,v2=(1,-1,2),,v3=(2,1,2).
O conteúdo é representação de forma quadrática em base qualquer, e vamos precisar (1) achar a matriz A de q na base canônica e (2) usar
Mij=B(vi,vj)=vi^TA,vj
onde B é a forma bilinear associada.

Passo 2

Na base canônica (x,y,z) temos a matriz simétrica A tal que q([x,y,z]^T)=[x,y,z],A,[x,y,z]^T.
Os coeficientes são:
A11=0, A22=1, A33=-1,
2A12=2implies A12=A21=1,
2A13=-3implies A13=A31=-tfrac32,
2A23=1implies A23=A32=tfrac12
Logo
A= 0 & 1 & -tfrac32 1 & 1 & tfrac12 -tfrac32 & tfrac12 & -1

Passo 3

Para a base alpha, a matriz procurada é M de entradas
Mij=vi^TA,vj,
com v1=(0,0,1), v2=(1,-1,2), v3=(2,1,2).

Passo 4

Calculemos primeiro A vi:
A,v1 = A001 =-tfrac32tfrac12-1, A,v2 = A1-12 =-41-4,
A,v3 = A212 =-24-tfrac92

Passo 5

Agora Mij=vi^T(A,vj).
  • M11=v1^T(A,v1)=(0,0,1)cdot(-tfrac32,tfrac12,-1)=-1.
  • M12=v1^T(A,v2)=(0,0,1)cdot(-4,1,-4)=-4.
  • M13=v1^T(A,v3)=(0,0,1)cdot(-2,4,-tfrac92)=-tfrac92.
  • M22=v2^T(A,v2)=(1,-1,2)cdot(-4,1,-4)=-13.
  • M23=v2^T(A,v3)=(1,-1,2)cdot(-2,4,-tfrac92)=-15.
  • M33=v3^T(A,v3)=(2,1,2)cdot(-2,4,-tfrac92)=-9.
    E simetrizando M21=M12,,M31=M13,,M32=M23.

Resposta

M= -1 & -4 & -tfrac92 -4 & -13 & -15 -tfrac92 & -15 & -9

Exercícios relacionados